ich muss folgende Aufgabe lösen, habe jedoch kein plan womit ich starten muss und was genau gezeigt werden muss.
$$\text{ Es sei }n \in \mathbb{N}. \\\text{ Auf der n-elementigen Teilmenge } n := (1, 2,....,n)\in \mathbb{N} \text{ erklären wir eine Verknüpfung } \circ \text{ durch } \\a \circ b:=\begin{pmatrix} a+b,\text{ falls } a+b \leq n \\a+b-n, \text{ falls } a+b>n\end{pmatrix} \forall a,b \in n \\\text{ Zeige } \\\text{a) Die Verknüpfung } \circ \text {ist assoziativ }: \\\forall a,b,c \in n|(a\circ b)\circ c=a\circ (b \circ c) \\\ \\\text{b) Die Menge n zusammen mit der Verknüpfung } \circ \text{ bildet eine kommutative Gruppe }$$
Bisher dachte ich, dass ich folgendes aufschreiben soll aber wie mache ich weiter, was muss ich umformen und wie zeige ich assozitivität und kommutativität in dieser gruppe?
$$\\\text{ a) } \\ \forall a,b \in n \\(a \circ b )\circ c:=\begin{pmatrix} a+b,\text{ falls } a+b \leq n \\a+b-n, \text{ falls } a+b>n\end{pmatrix} \circ c \Longleftrightarrow \begin{pmatrix} c+b,\text{ falls } c+b \leq n \\c+b-n, \text{ falls } c+b>n\end{pmatrix}\circ a :=(c \circ b )\circ a \\\text{ b) } \\ \\ \forall a,b \in n \\ a \circ b := \begin{pmatrix} a+b,\text{ falls } a+b \leq n \\a+b-n, \text{ falls } a+b>n\end{pmatrix}\Longleftrightarrow \begin{pmatrix} b+a,\text{ falls } b+a \leq n \\b+a-n, \text{ falls } b+a>n\end{pmatrix}:=b\circ a$$
