Multiplikation in C.

Question

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Aufgabe 2
a) Seien \( \mathbb{C}^{*}=\mathbb{C} \backslash\{0\} \) und \( \cdot: \mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) die übliche Multiplikation in \( \mathbb{C} \) sowie
\( U:=\left\{e^{i \varphi}: \varphi \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{C}^{*} . \)

Zeigen Sei, dass \( U \) eine Untergruppe von \( \left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right) \) ist.
b) Sei \( (G, \diamond) \) eine abelsche Gruppe und \( H \subset G \) eine Untergruppe von \( G \). Zeigen Sie, dass \( H \) abelsch ist.

Answer 1

\( U:=\left\{e^{i \varphi}: \varphi \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{C}^{*} . \)

Du musst ja nur zeigen :

1. U ist nicht leer. Stimmt, weil z.B. \( e^{i \cdot 0 } = 1  \in U  \)

2. U ist abgeschlossen bzgl. ·

Stimmt, weil \( e^{i \cdot a } \cdot   e^{i \cdot b} \cdot =  e^{i \cdot (a+b) } \in U \)

denn mit a und b ist auch a+b ∈ℝ.

3. Zu jedem El. von U ist auch das Inverse in U.

Stimmt auch; denn das Inverse von \( e^{i \cdot a } \)  ist \( e^{i \cdot -a } \)

und mit a ist auch -a in ℝ.

b)  Sind x,y aus H, dann gilt \( x \diamond y =  y \diamond x \)  weil

(wegen Untergruppe)  x und y in G sind und G ist abelsch.

Comments

Darf man für lambda = 0 einsetzen bei 1,?

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Sehe kein Lambda. Meinst du das φ ?

Da hatte man doch φ∈ℝ . Und 0∈ℝ ist doch wahr.