Wenn du die Marktanteile in einem Monat kennst,
etwa mit den Werten \( \begin{pmatrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{pmatrix}\)
Dann kannst du ja den Anteil der ersten Firma nach einem Monat berechnen
durch \( x_2=x_1 \cdot b +y_1 \cdot 0,15 + y_3 \cdot 0,05 \)
und das b findest du heraus, wenn du bedenkst:
10% von U1 gehen nach U3 und 5% von U1 gehen nach U2,
also bleiben 85% bei U1 und damit ist b=0,85 und du hast
\( x_2=x_1 \cdot 0,85 +y_1 \cdot 0,15 + y_3 \cdot 0,05 \)
Entsprechend
\( y_2=x_1 \cdot 0,05 +y_1 \cdot 0,75 + y_3 \cdot 0,05 \)
\( z_2=x_1 \cdot 0,1 +y_1 \cdot 0,1 + y_3 \cdot 0,9 \)
Das kannst du in einer Matrixgleichung zusammenfassen
\( \begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,85&0,15&0,05\\0,05&0,75&0,05\\0,10&0,10&0,90 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{pmatrix}\)
Damit kannst du die Anteile im 2. Monat ausrechnen. Das gibt
\( \begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,85&0,15&0,05\\0,05&0,75&0,05\\0,10&0,10&0,90 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 40\\20\\40 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 39\\19\\42 \end{pmatrix}\)
Also sind 39%, 19%, 42% die Marktanteile nach einem Monat.
Und nach dem 2. Monat hast du
\( \begin{pmatrix} x_3\\y_3\\z_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,85&0,15&0,05\\0,05&0,75&0,05\\0,10&0,10&0,90 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 39\\19\\42 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 38,1\\18,3\\43,6 \end{pmatrix} \)
Also in der Tat 38,1% bei U1.
"Marktanteile eingependelt" heißt ja wohl: Von einem Monat zum nächsten
bleiben sie ungefähr gleich. Also gilt dann
\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,85&0,15&0,05\\0,05&0,75&0,05\\0,10&0,10&0,90 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)
bzw.
\( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0,15&0,15&0,05\\0,05&-0,25&0,05\\0,10&0,10&-0,10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)
Das führt auf
\( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &-1 &-\frac{1}{3}\\ 0 &1 &-\frac{1}{3}\\0&0&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)
Also bei beliebigem z auf \(y=\frac{1}{3}z\) und \(y=\frac{1}{3}z\)
wegen x+y+z=100 gibt das
x=(50/3)%=16,7% y=33,3% z=50%
Also kann U3 wohl als Marktführer gelten.
