Wie kann ich ausrechnen, wie viele Quadrate jeweils in die Länge und die Breite des Rechtecks gelegt werden können?

Question

Aufgabe:

Ein Rechteck mit den Maßen 30 cm x 40 cm soll in Quadrate mit der gleichen Seitenlänge zerlegt werden.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich ausrechnen, wie viele Quadrate jeweils in die Länge und die Breite des Rechtecks gelegt werden können?

z.B. möchte ich das Rechteck in 30 Quadrate zerlegen. Welche Seitenlänge hat dann ein Quadrat?

Comments

Wenn die Seitenlängen der Quadrate ganzzahlig sein sollen, gibt es vier Möglichkeiten, da der ggT von 30 und 40 gleich 10 ist. Und 10 hat 4 Teiler, nämlich 1; 2; 5 und 10.

:-)

PS:

Wenn auch echte Brüche zugelassen sind, gibt es natürlich unendlich viele Lösungen.

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Er will exakt 30 Quadrate!

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Wenn das ganze Rechteck zerlegt werden soll, sind nur einige Vielfache von 12 möglich.

Für 30 Quadrate muss daher mit Abfall gerechnet werden.

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Antwort gelöscht ...

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Kann man daraus nicht ein Optimierungsproblem machen?

Für mich klingt das irgendwie so.

Answer 1

Das geht nur auf, wenn die Seitenlänge ein gemeinsamer positiver Teiler von 30 und 40 ist. Dann musst du nämlich nur die Seitenlängen des Rechtecks durch die des Quadrats teilen und am Ende multiplizieren. Skizze hilft (gilt für ganzzahlige Seitenlängen).

Da du eine ganzzahlige Anzahl von Quadraten brauchst, betrachte die Zerlegungen

\(30=1\cdot 30=2\cdot 15= 3\cdot 10=5\cdot 6=6\cdot 5 = 10\cdot 3=15\cdot 2=30\cdot 1\).

Davon geht allerdings keine Version ganz auf. Den Verschnitt müsstest du dann entsprechend berechnen und vergleichen. Da das Verhältnis der Seiten des Rechtecks 3:4 ist, würde ich eine Zerlegung wählen, die möglich gut an diese Verhältnis herankommt. Das wäre dann 5:6.

Comments

ein gemeinsamer Teiler von 30 und 40

In welchem Zahlbereich bist du hier ?

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Es sollte offensichtlich sein, dass nur positive Teiler sinnvoll sind...

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Das hilft mir leider nicht weiter. Ich brauche den gemeinsamen Teiler bei dem nach der Multiplikation 30 herauskommt.

Oder wenn man sich das Rechteck als Foto vorstellt den gerundeten gemeinsamen Teiler mit dem wenigsten Verschnitt nach der Teilung des Fotos.

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Ach jetzt verstehe ich auch den anderen Kommentar... Ich bin jetzt von einer ganzzahligen Teilung ausgegangen.

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Teilbarkeitslehre wird ja normalerweise im Bereich der ganzen oder meinetwegen natürlichen Zahlen betrieben. Für die Quadratseitenlängen kommen aber auch Brüche wie 2/5 [cm] infrage. Entscheidend ist nur, dass die Co-Faktoren dann natürliche Zahlen sind.

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Ja, habe ich dann auch gemerkt. ;) Habe die Antwort nochmal angepasst.

Answer 2

Ein Rechteck mit den Maßen 30 cm x 40 cm soll in Quadrate mit der gleichen Seitenlänge zerlegt werden.

wie wäre es mit dem Quadrat 1 cm * 1 cm
das sind 30 `40 Quadrate

Answer 3

Wenn die Quadrate sowohl in die Länge als auch in die Breite passen sollen, muss jedes von ihnen die Seitenlänge \( \frac{10}{k} \) haben. Dabei kommt für k jede natürliche Zahl in Frage.