Gleichung summe umformung?

Question

ich verstehe leider die gleichheit hier nicht, wie kommt man darauf? Danke!

\( \sum \limits_{i=1}^{K} x_{g i} \sum \limits_{\substack{k=1 \\ k \neq i}}^{K} \phi x_{g k} \) = \( \phi\left(\left(\sum \limits_{k=1}^{K} x_{g k}\right)^{2}-\sum \limits_{k=1}^{K} x_{g k}^{2}\right) \)

Comments

Was sind denn \(\phi\) und die \(x_{gk}\)?

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Mein Gedankengang war so:

Wäre \(\phi\) eine Funktion, wäre eine Klammer um \(x_{gk}\). Daher habe ich \(\phi\) als Faktor interpetiert.

Die \(x_{gk}\) habe ich (in meiner Vorstellung) als Komponenten eines \(K\)-dimensionalen Vektors gesehen \((x_g)_k\), weil sich \(g\) nicht ändert und daher für die Rechnung irrelevant ist.

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@Tschakabumba

Ich gehe grundsätzlich davon aus, dass wir aus vielen unvollständigen Fragen sinnhafte Fragen machen können.

Mir geht es aber darum, mit gezielten Nachfragen die FS dahin zu bringen, über ihre Posts zu reflektieren und auf Vollständigkeit zu achten.

Answer 1

Aloha :)

Ich schreibe die Formel von links nach rechts in Einzelschritten um:

(1) Wir starten bei$$\sum\limits_{i=1}^Kx_{gi}\sum\limits_{\stackrel{k=1}{k\ne i}}^K\phi x_{gk}$$

(2) Die Konstante \(\phi\) klammern wir nach dem Distributivgesetz aus:

$$\phi\sum\limits_{i=1}^Kx_{gi}\sum\limits_{\stackrel{k=1}{k\ne i}}^Kx_{gk}$$

(3) Zur zweiten Summe addieren wir den Fall \(k=i\) hinzu, also \(x_{gi}\), und müssen diesen danach natürlich wieder subtrahieren:

$$\phi\sum\limits_{i=1}^Kx_{gi}\left(\sum\limits_{k=1}^Kx_{gk}-x_{gi}\right)$$

(4) Wir wenden das Distributivgesetz an und multiplizieren aus:$$\phi\sum\limits_{i=1}^Kx_{gi}\sum\limits_{k=1}^Kx_{gk}-\phi\sum\limits_{i=1}^Kx_{gi}\cdot x_{gi}$$

(5) Das Produkt aus den beiden Summen lautet ausgeschrieben:$$(x_{g1}+x_{g2}+\cdots+x_{gK})\cdot(x_{g1}+x_{g2}+\cdots+x_{gK})$$Beide Klammern sind gleich. Wenn wir den Namen der Indexvariablen der ersten Summe von \(i\) nach \(k\) umbenennen, ändert das nichts an der Summe, es wird aber deutlich, dass beide Summen gleich sind. Auch in der einzelnen Summe, die subtrahiert wird, können wir die Indexvariable von \(i\) in \(k\) umbenennen, ohne den Wert der Summe zu ändern:$$\phi\sum\limits_{k=1}^Kx_{gk}\sum\limits_{k=1}^Kx_{gk}-\phi\sum\limits_{k=1}^Kx_{gk}\cdot x_{gk}$$

(6) Das ist genau der Term auf der rechten Seite:$$\phi\left(\sum\limits_{k=1}^Kx_{gk}\right)^2-\phi\sum\limits_{k=1}^Kx^2_{gk}$$