Umformung bei Aufgabe zu komplexen Zahlen

Question

Wie genau kommt man auf diese Umformung?

Text erkannt:

\( \left(\frac{\sqrt{3}+\frac{1}{3} \mathrm{i}}{\sqrt{3}-2 \mathrm{i}}\right)^{2}+\frac{4}{9} \stackrel{(1 P .)}{=}\left(\frac{7 / 3+\sqrt{3} \cdot 7 / 3 \mathrm{i}}{7}\right)^{2}+\frac{4}{9} \)

Answer 1

Aloha :)

Der Bruch wird mit dem komplex-konjugierten Nenner erweitert:$$\small\frac{(\sqrt{3}+\frac13\,i)\pink{(\sqrt{3}+2\,i)}}{(\sqrt{3}-2\,i)\pink{(\sqrt{3}+2\,i)}}=\frac{(\sqrt3)^2+\frac{\sqrt3}{3}\,i+2\sqrt{3}\,i+\frac23\,i^2}{(\sqrt3)^2-(2i)^2}=\frac{3+\frac73\sqrt3\,i+\frac23\,i^2}{3-4i^2}\stackrel{(i^2=-1)}{=}\frac{\frac73+\frac73\sqrt3\,i}{7}$$

Das ist die Standard-Methode, um den Nenner zu einer positiven reellen Zahl zu machen.

Answer 2

Erweitere den Bruch mit \( \sqrt{3} +2i\)