Wie kommt man auf diese Umformung? Eulersche Formel

Question

Moin Leute

Ich habe eine Aufgabe, bei der ich einen Schritt nicht verstehe.

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle z = a + bi ∈ C mit a, b ∈ R, so dass

z³= (\( \frac{1}{2} \) + \( \frac{\sqrt{3}}{2}i \) )¹²⁶

Erst nach z³ auflösen.

Nun rechnet man mit phi= arccos(b/r)

r= \( \sqrt{a²+b²} \)

für r kommt hier pi/3 raus. Das dann in die Eulersche Formel ergibt: cos(\( \frac{π}{3} \))+i*sin(\( \frac{π}{3} \)).

Bis hier hin war ich auch gekommen. Nun steht allerdings ab hier in den Lösungen, dass der Quotient 126 in der Eulerschen Formel auftaucht unswar so: cos(\( \frac{126π}{3} \))+i*sin(\( \frac{126π}{3} \)). Meine Frage ist jetzt warum? Mit welchem Rechengesetz zieht man den Quotienten in den Sinus/Kosinus rein?

Answer 1

Hallo

Fehler in deinem post: r=1, φ=pi/3, 126 ist kein Quotient sondern ein Exponent

a) du weisst wie man komplexe Zahlen multipliziert? Betrag multiplizieren, Winkel addieren? dann werden die Winke bei hoch 126 eben 125 mal addiert

b) du weisst cos(φ)+i*sin(φ)=e^iφ also (cos(φ)+i*sin(φ))^n=(e^iφ)^n=e^iφ*n

Gruß lul

Comments

Danke dir:)

sorry meinte natürlich Exponent

Answer 2

z³=(1/2+√3·i/2)^3·42

(1/2+√3·i/2)³=-1

z³=(-1)⁴²=1

Bestimmen Sie alle z = a + bi ∈ C mit a, b ∈ R, so dass z³=1.

z₁=1  z₂= - 1/2+√3/2   z₃= - 1/2-√3/2 

Comments

Ok, so gehts auch, aber wie kommst du drauf, das der Term =-1 ergibt?

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Kommt allein in diesem Forum sehr häufig vor.