Wie kommt man auf diese Umformung mit dem Fehlerterm?

Question

ich wollte fragen, ob ihr vielleicht versteht, wie diese Umformung mit dem Fehlerterm erklärt werden kann? Ich habe schon versucht unter "Landausymbolik" irgendwie zu verstehen wie es funktioniert, aber komme da nicht weiter. Könnt ihr mir vielleicht helfen?

\( \begin{aligned} & \frac{3 u(\bar{x})-4 u(\bar{x}-h)+u(\bar{x}-2 h)}{2 h}-u^{\prime}(\bar{x}) \\=& \frac{3 u(\bar{x})}{2 h}-\frac{2}{h}\left(u(\bar{x})-u^{\prime}(\bar{x}) h+\frac{1}{2} u^{\prime \prime}(\bar{x}) h^{2}-\frac{1}{6} u^{\prime \prime \prime}(\bar{x}) h^{3}+\mathcal{O}\left(h^{4}\right)\right) \\ &+\frac{1}{2 h}\left(u(\bar{x})-2 h u^{\prime}(\bar{x})+\frac{1}{2}\left(4 h^{2}\right) u^{\prime \prime}(\bar{x})-\frac{1}{6}\left(8 h^{3}\right) u^{\prime \prime \prime}(\bar{x})+\mathcal{O}\left(h^{4}\right)\right)-u^{\prime}(\bar{x}) \end{aligned} \)

VG

Answer 1

Hallo,

mir ist nicht klar, was Du genau fragst.

\(\mathcal{O} (h^4)\)  steht für (irgendeinen) Term f, von dem man nur zu wissen braucht, dass eine Abschätzung der Form \(|f| \leq \text{const} \cdot h^4\) möglich ist.

Dass dies hier jeweils der Fall ist, folgt aus der Taylor-Formel bzw. den Infos aus der Taylor-Reihen-Darstellung.

Gruß Mathhilf