Die Definition der O-Notation lautet ja in etwa so:
Es sei \(g: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}\). Dann ist
$$ \mathcal{O}(g):=\{f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}:\exists \alpha>0 \ \exists n \in \mathbb{N} \ \forall n\geq n_0:0\leq f(n) \leq \alpha \cdot g(n) \} $$
die Menge aller Funktion f, die bis auf eine Konstante \(\alpha>0\) höchstens so schnell wächst wie g.
Zu a). Du musst also ein \(\alpha>0 \) und ein \(n_0\in \mathbb{N}\) so angeben, sodass nachweislich für alle \(n\geq n_0\) diese Abschätzung gilt: \(0\leq f(n) \leq \alpha \cdot g(n)\), konkreter hier: \(0\leq 2n^2+3n+4 \leq \alpha \cdot n^2\) (*).
Um jetzt an diese beiden Werte ranzukommen, kannst du das (gerade bei Polynomen) schön sukzessive nachoben abschätzen:
\(0\stackrel{n\geq 0}{\leq} 2n^2+3n+4\stackrel{n\geq 4}{\leq}2n^2+3n+n=2n^2+4n=4\Big(\frac{1}{2}n^2+n\Big)\stackrel{n\geq 4}{\leq} 4\Big(\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n^2\Big)=4n^2\)
sodass mit einem \(\alpha=4>0\) und einem \(n_0=4\) die Abschätzung (*) gilt und damit \(f\in \mathcal{O}(n^2)\) gilt.
EDIT:
Bei b) und c) könntest du auch zb vollständige Induktion benutzen. Aber da solltest du dir vorher ein ,,passendes" \(\alpha>0\) und ein \(n_0\in \mathbb{N}\) ausgewählt haben.
