Berechnung Kreis, Zylinder etc.

Question

Aufgabe:

Schraubenmuttern besitzen die Form eines geraden, regelmässigen, sechsseitigen Prismas aus dem ein Zylinder herausgebohrt wurde. Zur Fertigung einer bestimmten Sorte von Schraubenmuttern verwendet man Hohlzylinder aus Metall (Durchmesser aussen: dA=2.2 cm, innen: dI=0.8 cm; Höhe h = 0.9 cm), die entsprechend zurechtgefräst werden (vgl. Abbildung).

Berechnen Sie die Masse einer Mutter aus Messing (Dichte ρ=8.4 gcm3).

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Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte helfen 

Answer 1

Der Hohlzylinder hat ein Volumen von

V = pi*r_A^2 *h - pi*r_i^2*h =pi*h*(r_A^2  - r_i^2) =pi*0,9cm^2 *( 1,1^2 cm^2 - 0,4^2 cm^2 ) = 2,969 cm^3

Von dem Hohlzylinder wird außen etwas abgefräst.

Dazu betrachte ein Teildreieck des regelmäßigen Sechseck mit einer

Ecke im Mittelpunkt und die anderen als Endpunkte einer 6-eck Seite.

Das ist gleichseitig mit Seitenlänge r_A hat also die Fläche A₁=r_A^2 / 4 * √3 =0,524 cm^2

Der zugehörige Sektor des äußeren Kreises hat die Fläche

A₂ = pi*r_A^2 *60°/360° =0,634 cm^2

Das abgefräste Stück also 0,634 cm^2  - 0,524 cm^2  = 0,110 cm^2 .

Bei allen 6 Sektoren gibt das 0,660cm^2 und weil das Stück

0,9cm hoch ist, ist das abgefräste Volumen 0,594 cm^3 .

Hohlzylinder - abgefräste Stücke also V = 2,969 cm^3  -  0,594 cm^3 = 2,375 cm^3.

Das ist das Volumen des fertigen Stückes.

Die Masse also m = 2,375 cm^3 * ρ=8.4 g / cm^3 = 19,95 g.

Answer 2

A_Sechseck=6·\( \frac{2,2^2}{4} \)·√3

A_Kreis=π·0,8²

V_Mutter=(A_Sechseck - A_Kreis)·0,9

Masse=V_Mutter·8,4 (g).