Bestimmen Sie für folgende Funktionen jeweils alle p aus den nat zahlen mit f(h) = O(h^p) für

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für folgende Funktionen jeweils alle p aus den nat zahlen mit f(h) = O(h^p) für
h --> 0

sin^2(x)

Text erkannt:

\( d) \sin ^{2}(x)=\left(x+\sigma\left(x^{3}\right)\right)^{2}=x^{2}+\sigma\left(x^{4}\right) \)

Wie kommt man auf diese Rechnung?

Answer 1

Der Sinus hat die folgende Reihendarstellung $$ \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{ x^{2n+1} }{(2n+1)!} = x + \mathcal{O(x^3)} $$

Und deswegen $$ \sin^2(x) = \left( x + \mathcal{O(x^3)} \right)^2 = \left( x + \mathcal{O(x^3)} \right) \left( x + \mathcal{O(x^3)} \right) = x^2 + \mathcal{ O(x^4) }  $$

Answer 2

Hallo

Klammer ausmultipliziere n und überlegen , dass:

2x*O(x^3)=O(x^4),  (O(x^3))^2 =O(x^6) , O(x^4)+O(x^6)=O(x^4)

Gruß lul