Question

Hey, seht ihr vielleicht, wie man auf diese Umformung mit der Poissonverteilung kommt? $\lambda$ ist der Parameter zur Poissonverteilung

Text erkannt:

\( \lambda_{n}\left[e^{i t / \sqrt{\lambda_{n}}}-i t / \sqrt{\lambda_{n}}-1\right]=\sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{i^{k} t^{k}}{\lambda_{n}^{k / 2-1} k !}=-t^{2} / 2+\frac{1}{\sqrt{\lambda_{n}}} \sum \limits_{k=3}^{\infty} \frac{i^{k} t^{k}}{\lambda_{n}^{(k-3) / 2} k !} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}-t^{2} / 2 \)

Ich wäre super dankbar für eure Hilfe!

LG

Answer 1

Es ist

$$e^x = 1+x+\frac{x^2}2 +\sum_{k=3}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$$

Jetzt bringst du \(1+x\) nach links, setzt \(x=\frac{it}{\sqrt{\lambda_n}}\) ein und multiplizierst mit \(\lambda_n\) und beachte, dass \(\sqrt{\lambda_n}=\lambda_n^{\frac 12}\) ist:

$$\lambda_n\left[e^{\frac{it}{\sqrt{\lambda_n}}} - 1 - \frac{it}{\sqrt{\lambda_n}}\right]$$

$$=\lambda_n\left(\frac{i^2t^2}{2\lambda_n} +\sum_{k=3}^{\infty}\frac{i^kt^k}{k!\cdot \lambda_n^{\frac k2}}\right)$$

$$\stackrel{\lambda_n = \frac 1{\sqrt{\lambda_n}\cdot \lambda_n^{-\frac 32}}  }{=}-\frac{t^2}{2} +\frac 1{\sqrt{\lambda_n}}\sum_{k=3}^{\infty}\frac{i^kt^k}{k!\cdot \lambda_n^{\frac{k-3}2}}$$

Comments

Ahhhhhh... jetzt sehe ich es auch. Vielen lieben Dank für deine Hilfe!