Beweis zur Poissonverteilung. Man zeige: E(X)=Var(X).

Question

Sei X poissonverteilt. Man zeige: E(X)=Var(X).

Answer 1

Wir führen einen direkten Beweis. Für den Erwartungswert \(E(X)\) gilt:

\(E(X) = \sum\limits_{k=0}^\infty k \cdot e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!}\)

\(= \lambda \cdot e^{-\lambda} \cdot \sum\limits_{k=1}^\infty k \cdot \frac{\lambda^{k-1}}{k!}\)

\(= \lambda \cdot e^{-\lambda} \cdot \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\)

\(= \lambda \cdot e^{-\lambda} \cdot \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}\)

\(= \lambda \cdot e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} = \lambda\)

Für die Varianz \(Var(X)\) gilt:  \(Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2= E[X(X-1)] + E(X) - (E(X))^2\).

Sei \( g(X) = X (X-1)\)

\(E(g(X)) = \sum\limits_{k=0}^\infty k \cdot (k-1) \cdot e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} \)

\(= e^{-\lambda} \cdot \sum\limits_{k=2}^\infty k (k-1) \cdot \frac{\lambda^k}{k!}\)

\(= \lambda^2 e^{-\lambda} \cdot \sum\limits_{k=2}^\infty k(k-1) \cdot \frac{\lambda^{k-2}}{k!}\)

\(=\lambda^2 e^{-\lambda} \cdot \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}\)

\(= \lambda^2 e^{-\lambda} \cdot \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}\)

\(= \lambda^2 \cdot e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda}\)

\(= \lambda^2\)

Daraus folgt für die Varianz:

\(Var(X) = \underbrace{\lambda^2}_{E[X(X-1)]} +\underbrace{\lambda}_{E(X)} - \underbrace{\lambda^2}_{(E(X))^2} = \lambda\)

Es ist offensichtlich

\(E(X)=\lambda=Var(X) \)

\(\square\)

Comments

Danke, aber wieso "direkter Beweis"? Muss ich das mit angebene?

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Danke, aber wieso "direkter Beweis"?

Weil wir hier einen direkten Beweis durchführen.

Muss ich das mit angebene?

Nein ;) Das war nur zur Erklärung. Es schadet aber nicht, wenn Du es hinschreibst!

Answer 2

Ist die Zufallsvariable \(X\) poissonverteilt, also \(X↦ P_{\lambda}\), so ist \(\lambda\) zugleich Erwartungswert und Varianz.

Der Erwartungswert wird formal als \(E(X)=\sum_{i∈I}^{}{x_ip_i}\) beschrieben. Bei der Poissonverteilung erhalten wir dafür also:$$E(X)=\sum_{k=0}^{\infty}{k\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}}$$ Wird das Folgeglied als Produkt oder Quotient mitgeteilt, so ist die Klammer überflüssig. Demnach können wir \(\lambda e^{-\lambda}\) vor die Summe schreiben:$$=\lambda e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}}$$ Substituiere \(k-1\) mit \(z\) und erhalte:$$=\lambda e^{-\lambda}\underbrace{\sum_{z=0}^{\infty}{\frac{\lambda^z}{z!}}}_{e^{\lambda}}$$ Du hast nun also noch folgendes:$$=\lambda e^{-\lambda}e^{\lambda}$$$$=\lambda$$ Nach dem Verschiebungssatz gilt nun:$$Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda$$That's it!

Comments

Wieso gilt Var(X)=E(X2)−(E(X))2=λ2+λ−λ2=λ (letzte Zeile)? Wie kommst Du auf E(X^2)? E(X)^2 verstehe ich.

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Den Pfeil in Zeile 2 würde ich übrigens durch die Tilde ersetzen (siehe Deine Vorlage: https://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung#Erwartungswert,_Varianz,_Moment). Den Pfeil verwendet man üblicherweise für die Definition von Abbildungen.

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Keine Ahung, wie man das bei LaTeX macht.

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Wieso gilt Var(X)=E(X2)−(E(X))2=λ2+λ−λ2=λ (letzte Zeile)? Wie kommst Du auf E(X^2)? E(X)^2 verstehe ich.

Versuche mal \(E(X^2)\) herzuleiten. Wenn du Hilfe brauchst, dann melde dich!

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Die Transformationsregeln könnte hier hilfreich sein ;-)

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Danke, aber wie geht das? Also wie kommt man auf E(X^2)? Könntest Du das vielleicht vorrechnen?

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Keine Ahung, wie man das bei LaTeX macht.

Es reicht schon, wenn Du weißt, wie man das in MathJax (oder bald vielleicht sogar KaTeX) macht.

Allgemein: https://www.stacklounge.de/ask

Speziell: https://www.stacklounge.de/1422/latex-code-fur-text-uber-einer-variablen

;)

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Du kannst dir das bei Andrés Antwort anschauen. Siehe unten.

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Sorry André,

Ich bin heute etwas niedergeschlagen. Ich glaube ich werde erstmal für die nächsten Tage das Forum verlassen. Ich werde meine Antworten in Zkunft optimieren und versuchen keine Fehler mehr zu machen.

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Ich werde meine Antworten in Zkunft optimieren und versuchen keine Fehler mehr zu machen.

Das ist doch kein Fehler ;) Hier geht es ja primär um die Notation ... ich kenne die auch erst seit der Uni ;) Die Antwort doch super! (Daumen von mir ;))

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Trotzdem, meine Unwissenheit geht mir auf den Sack. Dadurch habe ich gerade einfach keinen Bock mehr.

@.l.l.l.

Ich bin nun erstmal off - ich versuche deine Rückfragen später nochmal aufzugreifen.

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Trotzdem, meine Unwissenheit geht mir auf den Sack

Man kann nicht alles wissen! Und für solche Fragen (die auf Uni-Niveau sind), muss man nicht umsonst ein MINT-Fach studieren ;)

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Man kann nicht alles wissen!

Sollte man aber.

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Die Antwort doch super! (Daumen von mir ;))

Nein, ist sie nicht. Das weißt du besser als ich. Es fehlt der signifikante Teil der Herleitung von \(E(X^2)\)

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Es fehlt der signifikante Teil der Herleitung von E(X^2)

Ich kann mich nicht erinnern, dass der Fragesteller die in seinem Eingangspost gefordert hat (Wikipedia liefert die im Übrigen auch nicht). Ich hätte die auch nicht gebracht, wenn ich den Kommentar bei Dir nicht gesehen hätte.

Man muss bei Beweisen ohnehin erst abklopfen, was überhaupt verwendet werden darf. Andernfalls könnte man auch darüber diskutieren, ob man z. B. das Distributivgesetz als "bekannt" voraussetzen darf ;)