Aufgabe:
In einer Umfrage des Instituts für Niederdeutsche Sprache wurden alle Personen, die in den letzten 12 Monaten mindestens ein plattdeutsches Buch geschenkt bekommen hatten, gefragt, wie viele plattdeutsche Bücher sie in den letzten 12 Monaten insgesamt geschenkt bekommen hatten. Für die Anzahl der in den letzten 12 Monaten geschenkt bekommenen plattdeutschen Bücher wurde auf die folgende Weise ein Modell konstruiert.
Sei \( Y \) die Anzahl der in den letzten 12 Monaten geschenkt bekommenen plattdeutschen Bücher. Dann ist \( Y \sim X+1 \), wobei \( X \) und damit \( X=Y-1 \) poissonverteilt ist mit dem Parameter \( \lambda=1 / 2 \). Bitte runden Sie die Ergebnisse falls nötig auf vier Nachkommastellen.
a) Berechnen Sie \( E(Y) \) und \( \operatorname{Var}(Y) \).
b) Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
i) \( P(Y=1)=P(X=0) \)
ii) \( P(Y \leq a) \) für \( a=1,2 \)
iii) \( P(Y \geq b) \) für \( b=3,4 \)
iv) \( P(Y>c) \) für \( c=5,6 \).
Ansatz:
Es heißt, dass Y poissonverteilt mit X+1 ist. X ist poissonverteilt mit λ = 1/2
Dementsprechend ist E(Y)=λ=1/2+1=1,5.
Jetzt möchte ich die Varianz von Y berechnen. Diese ist aber doch bei der Poissonverteilung = λ? Ich dachte bei der Poissonverteilung gilt: E(Y)=Var(Y)=λ. Somit wäre Var(Y)=1,5. Laut Lösung ist die Varianz jedoch 0,5.
Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten hakt es auch noch ein bisschen. Wenn ich die Wahrscheinlichkeit für Y=1 berechnen soll, verwende ich für diese Formel:
\( \frac{\lambda^{x}}{x !} e^{-\lambda} \)
Für λ setze ich 1,5 und für x! 1 ein. So komme ich aber auf ein falsches Ergebnis.
