Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist
\(\displaystyle p =\sum\limits_{k=0}^{2} \; \binom{11}{k} \cdot 0,25^k \cdot (1-0,25)^{11-k} \approx 45,5 \, \% \)
Die Gegenwahrscheinlichkeit, nämlich dass mehr als zwei Kunden mit Karte bezahlen, ist
\(\displaystyle p =\sum\limits_{k=3}^{11} \; \binom{11}{k} \cdot 0,25^k \cdot (1-0,25)^{11-k} \approx 54,5 \, \% \)
Die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten ist 100 %. Mit dieser Wahrscheinlichkeit werden 0 bis 11 Kunden mit Karte bezahlen. Etwas anderes ist ja gar nicht möglich, darum 100 %.
\(\displaystyle p =\sum\limits_{k=0}^{11} \; \binom{11}{k} \cdot 0,25^k \cdot (1-0,25)^{11-k} = 100 \, \% \)