Divergenz beweis 2^n/n^2

Question

Aufgabe:

Konvergiert oder Divergiert die Folge: 2^n/n^2

Ich weiß das die Folge divergiert, bin mir aber nicht sicher, wie ich das Beweisen soll. Geht das mit Cauchy?

Answer 1

Schätze für \(n\geq 3\) mit der binomischen Formel ab:

\((1+1)^n = 1+ n + \binom n2 + \cdots +\binom nn \geq \binom n3 \)

\(\frac{2^n}{n^2} \geq \frac{\binom n3}{n^2} = \frac 16\frac{n(n-1)(n-2)}{n^2}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\infty\)

Comments

Würde auch gehen zu zeigen, dass es keine Nullfolge ist?

z.B. mit dem Quotientenkriterium ?

Die einfachste Antwort wäre: 2^n wächst schneller als n^2.

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Eine konvergente Folge muss ja keine Nullfolge sein. Und dass 2^n schneller wächst als n^2 ist intuitiv auch klar, aber gerade als Anfänger ist es wichtig, sowas auch formal beweisen zu können. Gerade bei "trivialen" Aussagen ist das aber nicht immer so leicht, wenn man mit Beweisen noch nicht so vertraut ist.

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@ggt22 Die einfachsten Antworten sind nicht immer die besten.

Und Nullfolge/Quotientenkriterium: Verwechselst Du erneut (nicht zum ersten Mal) Folgen und Reihen?

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ggT:
Du kannst das Reziproke betrachten und darauf z. Bsp. das Quotientenkriterium anwenden.

Damit ist dann \(\frac {n^2}{2^n}\) eine positive Nullfolge und somit muss \(\frac{2^n}{n^2}\) unbeschränkt wachsen.
Aber Wurzelkriterium ginge schneller.

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Danke.

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