Aufgaben Vektoren, Parallelogramm

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Folgendes Problem bei

a)Ich verstehe nicht wie ich auf die einzelnen Punkte kommen soll

Text erkannt:

Aufgabe 2 :
\( \text { (4 + } 5+5 \text { Punkte) } \)

Gegeben sind die Punkte \( A=(1 ; 1 ; 0) \) und
\( C=(3 ; 7 ; 4) \) ), sowie der Vektor \( \overrightarrow{A B}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \) eines
Parallelogramms.
Die Längen und Winkel in der Skizze entsprechen nicht den Zahlenwerten!
A
a) Berechnen Sie die Koordinaten der fehlenden Punkte B und D.
b) Berechnen Sie den Winkel \( \alpha \).
c) Gegeben ist nun noch der Vektor \( \vec{f}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \). Liegen die Vektoren \( \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D} \), die das Parallelogramm aufspannen, und \( \vec{f} \) in einer Ebene?

Comments

Klick auf das Bild und schaue Dir das ganze in 3D an. Das hilft ungemein zum Verständnis der Aufgabe

Answer 1

Mache dich mit Vektorketten vertraut: \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}\).

Vor allem die geometrische Interpretation von Vektoren hilft hier weiter. Mache dir also auch klar, was ein Vektor geometrisch ist, was ein Vektor zwischen zwei Punkten ist, wie der Ergebnisvektor einer Vektoraddition aussieht etc.

Answer 2

a)

B = A + AB = [1, 1, 0] + [2, 2, 1] = [3, 3, 1]

D = C - AB = [3, 7, 4] - [2, 2, 1] = [1, 5, 3]

b)

AD = D - A = [1, 5, 3] - [1, 1, 0] = [0, 4, 3]

COS(α) = AB·AD / (|AB|·|AD|) = [2, 2, 1]·[0, 4, 3] / (|[2, 2, 1]|·|[0, 4, 3]|) --> α = 42.83°

c)

r*AB + s * AD = r·[2, 2, 1] + s·[0, 4, 3] = [4, 0, -1] --> r = 2 ∧ s = -1