Matrix Gleichungen lösen

Question

Aufgabe:

Löse diese Gleichung

a) 4 · \( \begin{pmatrix}  -1&0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)  + X - \( \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \) = 2 · X

b) X - 2 · \( \begin{pmatrix}  1 & 0 & 2  \\ 3 & 4 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4  \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & 5 & 6 \end{pmatrix} \)
Problem/Ansatz:

Wie berechne ich diese Gleichungen? Ich komme nicht weiter..

Answer 1

Aloha :)

Eine Matrix wird mit einem Faktor multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit diesem Faktor multipliziert wird. Und zwei Matrizen werden Element-weise addiert (subtrahiert).

zu a) Damit kannst du z.B. so rechnen:

$$2\begin{pmatrix}-1 & 0\\2 & 1\end{pmatrix}+X-\begin{pmatrix}3 & 2\\1 & -2\end{pmatrix}=2\cdot X\quad\big|\small\text{Vorfaktoren reinmultiplizieren}$$$$\begin{pmatrix}-2 & 0\\4 & 2\end{pmatrix}+X+\begin{pmatrix}-3 & -2\\-1 & 2\end{pmatrix}=2\cdot X\quad\big|\small\text{Matrix \(X\) auf beiden Seiten subtrahieren}$$$$\begin{pmatrix}-2 & 0\\4 & 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3 & -2\\-1 & 2\end{pmatrix}=X\quad\big|\small\text{Matrizen links addieren}$$$$X=\begin{pmatrix}-5 & -2\\3 & 4\end{pmatrix}$$

zu b) Wieder mit den beiden Regeln von oben:

$$X-2\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\3 & 4 & 1\\4 & -2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1 & 4\\2 & 3 & -1\\0 & 5 & 6\end{pmatrix}\quad\big|\small\text{Vorfaktor reinmultiplizieren}$$$$X-\begin{pmatrix}2 & 0 & 4\\6 & 8 & 2\\8 & -4 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1 & 4\\2 & 3 & -1\\0 & 5 & 6\end{pmatrix}\quad\big|\small\text{Matrix von links auf beiden Seiten addieren}$$$$X=\begin{pmatrix}2 & 1 & 4\\2 & 3 & -1\\0 & 5 & 6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 & 0 & 4\\6 & 8 & 2\\8 & -4 & 2\end{pmatrix}\quad\big|\text{Matrizen rechts addieren}$$$$X=\begin{pmatrix}4 & 1 & 8\\8 & 11 & 1\\8 & 1 & 8\end{pmatrix}$$

Answer 2

Hier gibt es an sich nichts besonderes zu beachten. Rechne bei der ersten Gleichung \( - X \) und rechne die linke Seite aus. Bei der zweiten Gleichung, bringe die Matrix von links nach rechts, indem du den Teil massierst. Dann berechne die rechte Seite. Links steht ja dann schon \( X= \).

Die Umformungen funktionieren in diesem Fall also wie bei normalen Gleichungen.