Berechne die ersten 3 Glieder, das 100 und 101 Glied dieser Folgen:

Question

Aufgabe:

Berechne die ersten 3 Glieder, das 100 und 101 Glied dieser Folgen:
a) x1 = 1, xn+1 =1 /1+xn

Problem/Ansatz:

Habe keine Lösung zum Abgleichen. Mein Weg:

x1= 1

x2= 1/1+1 = 1/2

x3= 1/1+ 1/2 = 2/3

x4= 1/1+2/3= 3/5

Frage: Das 100. und 101. Glied kann ich doch nicht einfach so berechnen oder nicht? Dann müsste ich doch von x4 bis x99 alles durchrechnen? Oder wie würde man diese Aufgabe schlau lösen in einer Klausur?

Answer 1

x1 = 1/1

x2 = 1/(1 + 1) = 1/2

x3 = 1/(1 + 1/2) = 2/3

x4 = 1/(1 + 2/3) = 3/5

Allgemeine Betrachtung

1/(1 + a/b) = b/(a + b)

Wir sehen also, dass im Zähler und Nenner die Fibonacci-Folge steht, allerdings um 1 versetzt.

Jetzt wäre die Frage was dir in der Klausur zur Verfügung steht. Kennst du zufällig das die explizite Form eines Fibonacci-Gliedes der Folge?

Oder hast du ein Taschenrechner bei dem du durch wiederholtes Rechnen mit der letzten Antwort rekursiv rechnen kannst?

100. 354224848179261915075/573147844013817084101 = 0.6180339887

101. 573147844013817084101/927372692193078999176 = 0.6180339887

Comments

Vielen Dank für deine Antwort!

Liegt es denn in der Natur einer Folge, dass ich ein Folgeglied immer nur berechnen kann, wenn ich den Wert des Vorgliedes kenne? Im Endeffekt ist es doch auch das was du mit dem rekursiven Rechnen beim Taschenrechner meinst? Das ich einfach bis zum 99. Glied aufaddiere?

Kurzgefasst: Gibt es eine Formel mit der ich einfach nur durch einsetzen den Wert eines höherstelligen Gliedes berechnen kann?

LG

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Liegt es denn in der Natur einer Folge, dass ich ein Folgeglied immer nur berechnen kann, wenn ich den Wert des Vorgliedes kenne?

Wenn du eine rekursive Vorschrift hast und damit rechnen willst brauchst du für x100 dummerweise x99 und für x99 x98 usw.

Wenn du die Explizite Vorschrift kennst dann kannst du xn für jedes Beliebige n direkt ausrechnen.

Die explizite Form der Fibonacci-Folge darf man kennen muss es aber nicht.

https://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge

$$f_{n}=\frac{\Phi^{n}-\Psi^{n}}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right)$$

Daher wäre es wichtig was ihr zur berechnung benutzten dürft.

Was auffällt ist das sich die Folgeglieder vom Wert für größe n nicht so sehr voneinander unterscheiden.