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Aufgabe:

Gegebene arithmetische Folge: 7; 11; 15...

Differenz (d): 4

Anfangsglied (a): 7

Summe aller zusammengezählten Glieder (Sn): 1375

Letztes Glied der Folge (ln): ?

Anzahl der Folgeglieder (n): ?



Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

unser Matheprof hat uns diese Aufgabe mit diesen Angaben gegeben, aber ich komme weder drauf, wie ich das letzte Glied berechnen soll, noch wie ich die Anzahl der Glieder rausbekomme.

Die Formel, die wir für das letzte Glied benutzen ist

ln= a+d • (n+1)

und für die Anzahl der Folgeglieder

n= (ln– a) : (d) +1

Ich habe schon versucht, die Formeln umzustellen, aber ich komme einfach nicht weiter. Wäre super, wenn mir jemand helfen kann!


Vielen lieben Dank im Voraus, auch nur für einen kleinen Tipp! :) <3

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1 Antwort

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Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Es ist gegeben an+1=an+d,a0=7, d=4a_{n+1} = a_n + d, \quad a_0 = 7, \space d= 4Daraus folgt dann auch, dass a1=a0+da2=a0+d+d=2da3=a0+3dan=a0+nda_1 = a_0 + d\\ a_2 = a_0 + d+d= 2d \\ a_3 = a_0 + 3d \\ \dots \\ a_n = a_0 + ndJetzt fehlt uns noch die Summe, wenn nn Elemente der Reihe zu a0a_0 addiert werden:Sn=a0+a1+a2++an=k=0nak=k=0n(a0+kd)=(n+1)a0+dk=0nk=(n+1)a0+dn2(n+1)=(n+1)(a0+12dn)\begin{aligned}S_n &= a_0 + a_1 + a_ 2 + \dots + a_n \\&= \sum\limits_{k=0}^{n} a_k \\&= \sum\limits_{k=0}^n (a_0 + kd) \\ &= (n+1)a_0 + d\sum\limits_{k=0}^{n}k \\&= (n+1)a_0 + d \cdot \frac{n}{2}(n+1)\\&= (n+1)\left(a_0 + \frac12 dn\right)\end{aligned}(siehe auch Gaußsche Summenformel) und da a0a_0 und dd bekannt sind, können wir nun nn berechnen:Sn=(n+1)(7+2n)=1375    n=24S_n = (n+1) (7 + 2n) = 1375 \\ \implies n=24den Rest schaffst Du alleine.

Falls noch Fragen sind, so melde Dich bitte

Gruß Werner

Avatar von 49 k

Oh, das war wirklich super verständlich!! :D Vielen Dank für die Erklärung und noch eine gute Nacht! :)

Eine Frage hätte ich allerdings noch, wenn es keine Umstände macht – mit den Formeln, die wir verwenden (also die ich zuerst angegeben habe) lässt sich das Ergebnis nicht erreichen, oder? Wir sollen unsere Rechnung eigentlich so machen, dass sie auf die beiden Formeln zurückgeführt werden kann, und obwohl ich jetzt dank Ihnen auf das richtige Ergebnis bekommen bin, weiß ich nicht, ob mein Professor das gelten lässt wenn ich nicht die angegeben Formeln verwendet habe...

Vielen Dank auf jeden Fall, es ist wirklich kein Problem wenn dies nicht möglich ist!

Wir sollen unsere Rechnung eigentlich so machen, dass sie auf die beiden Formeln zurückgeführt werden kann

Formeln sind nichts wert, wenn man sie nicht verstanden hat.

Das letzte Glied soll sein:ln=a+d(n+1)l_{n}= a+d \cdot (n+1)Und aa ist das erste Glied - oder nicht? Dann ist das doch schon falsch, wenn Du eine Reihe mit z.B. 2 Elementen hast.

Probiere a0=7a_0=7 und d=4d=4 wie oben und nn sei hier 11 für zwei Elemente a0a_0 und ana_n dann ist das letzte Glied natürlich a1=11a_1=11, aber die "Formel" sagtl1=a0+d(n+1)=7+42=15l_1 = a_0 + d(n+1) = 7 + 4 \cdot 2 = 15Kann es sein, dass die "Formel" lautet ln=a+d(n1)l_n = a + d(n-1) und nn ist die Anzahl - also in unserem Beispiel n=2n=2?? Dann würde das stimmen.

Wenn Du das umstellst ... ln=a+d(n1)alna=d(n1)÷dlnad=n1+1lnad+1=n\begin{aligned} l_n &= a + d(n-1) &&|\, -a \\ l_n - a &= d(n - 1) &&|\, \div d\\ \frac{l_n -a}{d} &= n -1 &&|\, +1 \\ \frac{l_n-a}{d} + 1 &= n\end{aligned}kommst Du zur zweiten "Formel". Dein Professer (machst Du ein Studium?) hat Euch also nur eine(!) Formel gegeben.

Und diese habe ich Dir bereits oben gezeigt, indem ich den Ausdruck für ana_n hergeleitet habe: an=a0+dna_n = a_0 + dn (s.o.). Nur mit dem Unterschied, dass die Anzahl der Elemente hier n+1n+1 ist, da das erste Element den Index 00 hat!

Ich schriebSn=a0+a1+a2++anS_n = a_0 + a_1 + a_ 2 + \dots + a_ndas sind n+1n+1 Folgeglieder! (s.o.)

Der Unterschied ist wichtig! Da oben n=24n=24 steht mit dem ersten Element a0a_0 und dem letzten ana_n dann hast Du natürlich 2525 Glieder in der Folge.

Die einzige Formel, die ich genutzt habe, ist die Gaußsche Summenformel, die der kleine Gauß sich schon im zarten Schüleralter selbst herleiten konnte.k=0n=n2(n+1)\sum\limits_{k=0}^{n} = \frac n2(n+1)(Link s.o.)

Alles andere ist logisch auf dem aufgebaut, was in der Aufgabe gegeben ist.

Eine Alternative ist die, aus den ersten Folgegliedern 7,11,15,7,\,11,\,15,\dots auf die quadratische Funktion s(n)s(n) zu schließen, die die Summe berechnet. nn sei jetzt die wirklich die Anzahl der Folgeglieder.

Es ists(1)=7s(2)=7+11=18s(3)=7+11+15=33s(1) = 7\\s(2)= 7+11=18 \\s(3)= 7 + 11 + 15 = 33und mit dem Ansatz s(n)=an2+bn+cs(n) =an^2+ b n+ c kommt man zus(n)=2n2+5ns(n) = 2n^2+5n

Noch 'ne Alternative bestände darin, es gleich wie der kleine Gauß zu machen. Schreibe dazu die Folge zweimal übereinander auf und einmal in umgekehrter Reihenfolge. lnl_n ist wieder das letzte Glied der Folge::71115ln4lnlnln415117\begin{array}{c|c|c|c|c|c}7& 11& 15& \dots& l_{n}-4& l_{n}\\ l_{n}& l_{n}-4& \dots& 15& 11& 7\end{array}Wenn nn die Anzahl der Folgeglieder ist, so sind das nn Spalten und die Summe jeder Spalte ist 7+ln7+l_n. Und da wir die Summe jetzt zweimal haben, muss noch durch 2 geteilt werden    Sn=12(7+ln)n\implies S_n = \frac12(7+ l_n)nund wenn man nun die zweite Form der von Eurem Prof vorgeschlagenen Gleichungn=lnad+1=ln74+1n=\frac{l_n-a}{d}+1 = \frac{l_n - 7}{4}+1dort einsetzt:Sn=12(7+ln)(ln74+1)=1375S_n = \frac12(7+ l_n) \cdot\left( \frac{l_n - 7}{4}+1\right) = 1375bekommt man eine Gleichung für das letzte Glied lnl_n. Danach war ja zuerst gefragt - siehe Aufgabenstellung12(7+ln)(ln74+1)=13758(7+ln)(ln7+4)=11000ln2+4ln21=1100011000ln2+4ln11021=0pq-Formelln1,2=2±4+11021=2±105ln=103\begin{aligned} \frac12(7+ l_n) \cdot\left( \frac{l_n - 7}{4}+1\right) &= 1375&&|\cdot 8\\ (7+ l_n)(l_n-7+4) &= 11000\\ l_n^2 + 4l_n -21 &= 11000&&|\,-11000\\ l_n^2 + 4l_n -11021 &= 0&&|\, \text{pq-Formel}\\ l_{n1,2} &= -2 \pm \sqrt{4 + 11021} \\ &= -2 \pm 105 \\ l_n &= 103 \end{aligned}die zweite Lösung entfällt, da negativ.

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