Letztes Glied und Anzahl Glieder einer arithmetischen Folge berechnen

Question

Aufgabe:

Gegebene arithmetische Folge: 7; 11; 15...

Differenz (d): 4

Anfangsglied (a): 7

Summe aller zusammengezählten Glieder (S_n): 1375

Letztes Glied der Folge (l_n): ?

Anzahl der Folgeglieder (n): ?

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

unser Matheprof hat uns diese Aufgabe mit diesen Angaben gegeben, aber ich komme weder drauf, wie ich das letzte Glied berechnen soll, noch wie ich die Anzahl der Glieder rausbekomme.

Die Formel, die wir für das letzte Glied benutzen ist

l_n= a+d • (n+1)

und für die Anzahl der Folgeglieder

n= (l_n– a) : (d) +1

Ich habe schon versucht, die Formeln umzustellen, aber ich komme einfach nicht weiter. Wäre super, wenn mir jemand helfen kann!

Vielen lieben Dank im Voraus, auch nur für einen kleinen Tipp! :) <3

Comments

Alle Formeln hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetische_Reihe

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Es ist gegeben $$a_{n+1} = a_n + d, \quad a_0 = 7, \space d= 4$$Daraus folgt dann auch, dass $$a_1 = a_0 + d\\ a_2 = a_0 + d+d= 2d \\ a_3 = a_0 + 3d \\ \dots \\ a_n = a_0 + nd$$Jetzt fehlt uns noch die Summe, wenn $n$ Elemente der Reihe zu $a_0$ addiert werden:$$\begin{aligned}S_n &= a_0 + a_1 + a_ 2 + \dots + a_n \\&= \sum\limits_{k=0}^{n} a_k \\&= \sum\limits_{k=0}^n (a_0 + kd) \\ &= (n+1)a_0 + d\sum\limits_{k=0}^{n}k \\&= (n+1)a_0 + d \cdot \frac{n}{2}(n+1)\\&= (n+1)\left(a_0 + \frac12 dn\right)\end{aligned}$$(siehe auch Gaußsche Summenformel) und da $a_0$ und $d$ bekannt sind, können wir nun $n$ berechnen:$$S_n = (n+1) (7 + 2n) = 1375 \\ \implies n=24$$den Rest schaffst Du alleine.

Falls noch Fragen sind, so melde Dich bitte

Gruß Werner

Comments

Oh, das war wirklich super verständlich!! :D Vielen Dank für die Erklärung und noch eine gute Nacht! :)

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Eine Frage hätte ich allerdings noch, wenn es keine Umstände macht – mit den Formeln, die wir verwenden (also die ich zuerst angegeben habe) lässt sich das Ergebnis nicht erreichen, oder? Wir sollen unsere Rechnung eigentlich so machen, dass sie auf die beiden Formeln zurückgeführt werden kann, und obwohl ich jetzt dank Ihnen auf das richtige Ergebnis bekommen bin, weiß ich nicht, ob mein Professor das gelten lässt wenn ich nicht die angegeben Formeln verwendet habe...

Vielen Dank auf jeden Fall, es ist wirklich kein Problem wenn dies nicht möglich ist!

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Wir sollen unsere Rechnung eigentlich so machen, dass sie auf die beiden Formeln zurückgeführt werden kann

Formeln sind nichts wert, wenn man sie nicht verstanden hat.

Das letzte Glied soll sein:$$l_{n}= a+d \cdot (n+1)$$Und $a$ ist das erste Glied - oder nicht? Dann ist das doch schon falsch, wenn Du eine Reihe mit z.B. 2 Elementen hast.

Probiere $a_0=7$ und $d=4$ wie oben und $n$ sei hier $1$ für zwei Elemente $a_0$ und $a_n$ dann ist das letzte Glied natürlich $a_1=11$, aber die "Formel" sagt$$l_1 = a_0 + d(n+1) = 7 + 4 \cdot 2 = 15$$Kann es sein, dass die "Formel" lautet $$l_n = a + d(n-1)$$ und $n$ ist die Anzahl - also in unserem Beispiel $n=2$?? Dann würde das stimmen.

Wenn Du das umstellst ... $$\begin{aligned} l_n &= a + d(n-1) &&|\, -a \\ l_n - a &= d(n - 1) &&|\, \div d\\ \frac{l_n -a}{d} &= n -1 &&|\, +1 \\ \frac{l_n-a}{d} + 1 &= n\end{aligned}$$kommst Du zur zweiten "Formel". Dein Professer (machst Du ein Studium?) hat Euch also nur eine(!) Formel gegeben.

Und diese habe ich Dir bereits oben gezeigt, indem ich den Ausdruck für $a_n$ hergeleitet habe: $a_n = a_0 + dn$ (s.o.). Nur mit dem Unterschied, dass die Anzahl der Elemente hier $n+1$ ist, da das erste Element den Index $0$ hat!

Ich schrieb$$S_n = a_0 + a_1 + a_ 2 + \dots + a_n$$das sind $n+1$ Folgeglieder! (s.o.)

Der Unterschied ist wichtig! Da oben $n=24$ steht mit dem ersten Element $a_0$ und dem letzten $a_n$ dann hast Du natürlich $25$ Glieder in der Folge.

Die einzige Formel, die ich genutzt habe, ist die Gaußsche Summenformel, die der kleine Gauß sich schon im zarten Schüleralter selbst herleiten konnte.$$\sum\limits_{k=0}^{n} = \frac n2(n+1)$$(Link s.o.)

Alles andere ist logisch auf dem aufgebaut, was in der Aufgabe gegeben ist.

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Eine Alternative ist die, aus den ersten Folgegliedern $7,\,11,\,15,\dots$ auf die quadratische Funktion $s(n)$ zu schließen, die die Summe berechnet. $n$ sei jetzt die wirklich die Anzahl der Folgeglieder.

Es ist$$s(1) = 7\\s(2)= 7+11=18 \\s(3)= 7 + 11 + 15 = 33$$und mit dem Ansatz $s(n) =an^2+ b n+ c$ kommt man zu$$s(n) = 2n^2+5n$$

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Noch 'ne Alternative bestände darin, es gleich wie der kleine Gauß zu machen. Schreibe dazu die Folge zweimal übereinander auf und einmal in umgekehrter Reihenfolge. $l_n$ ist wieder das letzte Glied der Folge::$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}7& 11& 15& \dots& l_{n}-4& l_{n}\\ l_{n}& l_{n}-4& \dots& 15& 11& 7\end{array}$$Wenn $n$ die Anzahl der Folgeglieder ist, so sind das $n$ Spalten und die Summe jeder Spalte ist $7+l_n$. Und da wir die Summe jetzt zweimal haben, muss noch durch 2 geteilt werden$$\implies S_n = \frac12(7+ l_n)n$$und wenn man nun die zweite Form der von Eurem Prof vorgeschlagenen Gleichung$$n=\frac{l_n-a}{d}+1 = \frac{l_n - 7}{4}+1$$dort einsetzt:$$S_n = \frac12(7+ l_n) \cdot\left( \frac{l_n - 7}{4}+1\right) = 1375$$bekommt man eine Gleichung für das letzte Glied $l_n$. Danach war ja zuerst gefragt - siehe Aufgabenstellung$$\begin{aligned} \frac12(7+ l_n) \cdot\left( \frac{l_n - 7}{4}+1\right) &= 1375&&|\cdot 8\\ (7+ l_n)(l_n-7+4) &= 11000\\ l_n^2 + 4l_n -21 &= 11000&&|\,-11000\\ l_n^2 + 4l_n -11021 &= 0&&|\, \text{pq-Formel}\\ l_{n1,2} &= -2 \pm \sqrt{4 + 11021} \\ &= -2 \pm 105 \\ l_n &= 103 \end{aligned}$$die zweite Lösung entfällt, da negativ.