Wir sollen unsere Rechnung eigentlich so machen, dass sie auf die beiden Formeln zurückgeführt werden kann
Formeln sind nichts wert, wenn man sie nicht verstanden hat.
Das letzte Glied soll sein:$$l_{n}= a+d \cdot (n+1)$$Und \(a\) ist das erste Glied - oder nicht? Dann ist das doch schon falsch, wenn Du eine Reihe mit z.B. 2 Elementen hast.
Probiere \(a_0=7\) und \(d=4\) wie oben und \(n\) sei hier \(1\) für zwei Elemente \(a_0\) und \(a_n\) dann ist das letzte Glied natürlich \(a_1=11\), aber die "Formel" sagt$$l_1 = a_0 + d(n+1) = 7 + 4 \cdot 2 = 15$$Kann es sein, dass die "Formel" lautet $$l_n = a + d(n-1)$$ und \(n\) ist die Anzahl - also in unserem Beispiel \(n=2\)?? Dann würde das stimmen.
Wenn Du das umstellst ... $$\begin{aligned} l_n &= a + d(n-1) &&|\, -a \\ l_n - a &= d(n - 1) &&|\, \div d\\ \frac{l_n -a}{d} &= n -1 &&|\, +1 \\ \frac{l_n-a}{d} + 1 &= n\end{aligned}$$kommst Du zur zweiten "Formel". Dein Professer (machst Du ein Studium?) hat Euch also nur eine(!) Formel gegeben.
Und diese habe ich Dir bereits oben gezeigt, indem ich den Ausdruck für \(a_n\) hergeleitet habe: \(a_n = a_0 + dn\) (s.o.). Nur mit dem Unterschied, dass die Anzahl der Elemente hier \(n+1\) ist, da das erste Element den Index \(0\) hat!
Ich schrieb$$S_n = a_0 + a_1 + a_ 2 + \dots + a_n$$das sind \(n+1\) Folgeglieder! (s.o.)
Der Unterschied ist wichtig! Da oben \(n=24\) steht mit dem ersten Element \(a_0\) und dem letzten \(a_n\) dann hast Du natürlich \(25\) Glieder in der Folge.
Die einzige Formel, die ich genutzt habe, ist die Gaußsche Summenformel, die der kleine Gauß sich schon im zarten Schüleralter selbst herleiten konnte.$$\sum\limits_{k=0}^{n} = \frac n2(n+1)$$(Link s.o.)
Alles andere ist logisch auf dem aufgebaut, was in der Aufgabe gegeben ist.
