Question

Wenn man das dritte, fünfte und siebenter Glied einer arithmetischen Folge addiert, erhält man 21.Wenn man die gleichen drei Glieder miteinander multipliziert, ergibt sich 91. Wie lauten diese drei Glieder? Gib eine Term Darstellung der Folge an.

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wenn du nur schnell die folgenglieder willst:

21= a₀ +3d + a₀ + 5d + a₀ + 7d

→ a₅ = 7

a₃ = 16 - a₇

a₃ = 91/(7a₇)=13/a₇

→ 0 =(a₇ - 1)(a₇ - 13) 

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a₃ = 14 - a₇

Answer 1

arithmetische Folge mit Anfangsglied a und Differenz d hat 

drittes, fünftes und siebentes Glied

a+2d         a+4d             a+6d 

also als  Summe    3a + 12d = 21    a =  7 - 4d 

Produkt   (a+2d)     *  (  a+4d  )     *    (  a+6d  )   =  91

dann  a =  7 - 4d    einsetzen  gibt 

                     ( 7 - 2d ) *  7  *   (  7 + 2d )   = 91 

                     ( 7 - 2d )   *   (  7 + 2d )   = 13

                         49  - 4d²  =  13

                                 36  =  4d² 

                                   d = 3 oder d = -3 

also entweder  d = 3 und a =  7 - 12 = - 5

oder       d = -3 und a =  7 +12 = 19

Also ist die Folge  a_n =   19  - 3*(n-1)   =  22 - 3n

oder     a_n =   -5   + 3*(n-1)   =  - 8 + 3n 


Die drei Folgenglieder sind also  1  7   und   13 .


 

Answer 2

Gegeben sind folgende Informationen: $$a_3+a_5+a_7=21 \\ a_3\cdot a_5\cdot a_7=91$$ 
Es gilt dass $$a_{i+1}=a_i+k$$ 
Wir haben also dass $$a_7=a_6+k \\ =(a_5+k)+k=a_5+2k\\ =(a_4+k)+2k=a_4+3k \\ = (a_3+k)+3k=a_3+4k$$ und $$a_5=a_4+k \\ = (a_3+k)+k=a_3+2k$$ Setzen wir das in den zwei Gleichungen ein bekommen wir: $$a_3+(a_3+2k)+(a_3+4k)=21 \Rightarrow 3a_3+6k=21 \\ a_3\cdot (a_3+2k)\cdot (a_3+4k)=91\Rightarrow a_3^3+6ka_3^2+8k^2a_3=91$$  
Jetzt haben wir 2 Gleichungen und 2 Unbekannten, die wir dann also finden können. 
Um dann die restlichen Glieder der Folge zu finden setzen wir den Wert von a₃ in den Gleichungen $$a_7=a_3+4k,  \\ a_5=a_3+2k$$ ein.