Aufgabe:
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Aufgabe 3. (7 Punkte, schriftlich) Als Verallgemeinerung der partiellen Ableitungen definiert man die Richtungsableitung, \( D_{v} f \), einer Funktion \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) in Richtung von \( v \in \mathbb{R}^{n} \) im Punkt \( p \in \mathbb{R}^{n} \) durch
\( D_{v} f(p):=\langle\operatorname{grad} f(p), v\rangle, \)
d.h. die Richtungsableitung nach \( v \) im Punkt \( p \) ist gegeben durch das Skalarprodukt des Gradienten an dieser Stelle und dem Vektor \( v \).
(a) (2 Punkte) Schreiben Sie die partiellen Ableitungen \( \frac{\partial f}{\partial x} \) und \( \frac{\partial f}{\partial y} \) als Richtungsableitungen (nach der obigen Definition), d.h. \( \frac{\partial f}{\partial x}=D f_{v_{1}} \) und \( \frac{\partial f}{\partial y}=D f_{v_{2}} \) für geeignete Vektoren \( v_{1}, v_{2} \in \mathbb{R}^{2} \), um sich davon zu überzeugen, dass es sich bei der Richtungsableitung tatsächlich um eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitungen handelt.
Wir betrachten nun im Folgenden die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=x y^{2}+y e^{-x y} \).
(b) (2 Punkte) Bestimmen Sie die Richtungsableitung der Funktion \( f \) in Richtung von \( v=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right) \) im Punkt \( p=(0,2) \).
(c) (3 Punkte) Es sei \( c: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) die Kurve, definiert durch \( c(t):=\left(t^{3}, 2-3 \sin (t)\right) \). Bestimmen Sie mithilfe der verallgemeinerten Kettenregel aus der Vorlesung die Ableitung \( \frac{d}{d t} f(c(t)) \) an der Stelle \( t=0 \) und machen Sie sich anhand dieses Beispiels klar, dass ganz allgemein \( \frac{d}{d t} f(c(t))=\left(D_{c^{\prime}(t)} f\right)(c(t)) \) gilt.
