Wie setze ich den Radius in die Geradengleichung ein um Punktkoordinaten zu erhalten?

Question

Aufgabe:

Moin, die Aufgabe lautet: In einem 2D Koordinatensystem sind die Punkte M1 (0 0) Ursprung und M2 (4 2) gegeben. Diese Punkte verbindet eine Gerade. M1 ist von einem Kreis mit Radius 3 umgeben. Dieser Kreis schneidet die Gerade im unbekannten Punkt P.

Herausfinden soll ich:

a) Die Geradengleichung.

b) Die Koordinaten von P

c) Abstand P zu M2.

Problem/Ansatz:

Für a)

dachte ich an x= (0 0)+r*(4 2)

Wie setze ich den Radius in die Geradengleichung ein um Punktkoordinaten zu erhalten?

Wenn ich die Koordinaten habe, kann ich über den Betrag die Vektorlänge PM2 und damit den Abstand berechnen.

Comments

Dieser Kreis schneidet die Gerade im unbekannten Punkt P.

Es gibt zwei Schnittpunkte:

Answer 1

a)

Gerade g: y = \( \frac{2}{4} \) x + 0 = \( \frac{1}{2} \) x

b)

Kreis k: (x-0)^2 + (y-0)^2 = r^2 = 9

Schnittpunkte:

x² + (\(\frac{1}{2} \)x)² = 9

\(\frac{5}{4} \)x² = 9

x = ± \(\frac{6}{\sqrt{5}} \)

y = g(x)

c)

Abstand:

d = \( \sqrt{(x-4)^2+(y-2)^2} \)

Comments

r² = 9

Laut Fragesteller ist r² = 9/20

---

@hj2166: Der Fragesteller sagt r zum Faktor vor dem Vektor, ich zum Radius.

@SteffenT: Wenn Du es mit Vektoren machen möchtest: Kürze die Länge des Vektors \( \binom{4}{2} \) auf \( |\lambda \binom{4}{2}|=3 \) und Du hast den Ortsvektor zu den beiden Schnittpunkten gefunden.

\(\displaystyle \sqrt{(4\lambda)^2+(2\lambda)^2} =3 \quad \Leftrightarrow \quad \lambda=\pm\frac{3}{\sqrt{20}} \)

---

Der Fragesteller sagt r zum Faktor vor dem Vektor, ich zum Radius

Du hast meinen Kritikpunkt erkannt.
Mag die Wahl des Buchstabens r für den Geraden-Parameter auch noch so unglücklich sein (s wie Sekante oder t wie Tangente sind meist auch nicht besser) – im Laufe eines Threads sollten spätere Antworten und Kommentare stets die Bezeichnungen der Vorgänger übernehmen, um das Maß an möglicher Verwirrung so gut es geht gering zu halten. Bezeichnungsänderungen sollten in jedem Fall als solche kenntlich gemacht werden.

---

Der Kritikpunkt ist natürlich kein Punkt, weil nicht sehr klein und dimensionslos, sondern ernsthaft berechtigt. :)

---

Ist deine Geradengleichung nicht wie meine nur aus der anderen Blickrichtung?

Und ja, r ist der Faktor, hätte auch einen anderen Buchstaben nehmen können.

---

Ja klar, die Gleichungen sind dasselbe, ist ja auch dieselbe Gerade. Bei Dir Parameterform, bei mir Normalform.

Dein r ist bei mir lambda weil bei mir das r für den Radius steht, eine Unsorgfältigkeit meinerseits, auf die weiter oben jemand hingewiesen hat.

---

Gut, also was setze ich wo ein wenn man mit meiner Gleichung weiterrechnen würde?

Es soll mit Vektoren gearbeitet werden.

Ach ja, der untere Schnittpunkt ist nicht relevant. Nur der zwischen M1 und M2.

---

Okay, dann setze den positiven lambda-Wert für r in Deine Parameterform der Geradengleichung ein.

\(\displaystyle \overrightarrow{OP} = \binom{0}{0}+ \frac{3}{\sqrt{20}} \cdot \binom{4}{2}\)

Das gibt dann P(12/\( \sqrt{20} \)  │ 6/\( \sqrt{20} \) )

---

Danke. Wie komme ich auf den Lambda-Wert? Ich quadriere um die Wurzel zu löschen und wie gehts dann weiter?

---

\(\ \begin{aligned} \sqrt{(4\lambda)^2+(2\lambda)^2} &=3 &&\quad\quad \text{quadrieren} \\\\ (4\lambda)^2+(2\lambda)^2 &=9 &&\quad\quad \text{ausmultiplizieren} \\\\ 16 \lambda^2 + 4 \lambda^2 &=9 &&\quad\quad \text{addieren} \\\\ 20 \lambda^2 &=9 &&\quad\quad \text{durch 20 dividieren} \\\\ \lambda^2 &=\frac{9}{20} &&\quad\quad \text{Quadratwurzel ziehen} \\\\ \lambda&=\pm\frac{3}{\sqrt{20}} \end{aligned} \)