Vektoren vereinfachen, Stützvektor multiplizieren?

Question

Aufgabe:

Vereinfache: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} \frac{37}{17}\\-\frac{22}{17}\\0 \end{pmatrix} \) + t · \( \begin{pmatrix} -\frac{1}{17}\\-\frac{13}{17}\\1 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Also ich weiß, dass ich den Richtungsvektor mit 17 multiplizieren darf, aber darf ich dasselbe auch mit dem Stützvektor machen? Also um die Brüche raus zu bekommen.

Answer 1

Nein, den Stützvektor darfst Du nicht mit einem Skalar multiplizieren. Das würde zu einer anderen (parallelen) Geraden führen.

Du kannst allerdings den Faktor 1/17 aus dem Vektor ausklammern, um die Darstellung zu vereinfachen.

Answer 2

Hallo,

.. aber darf ich dasselbe auch mit dem Stützvektor machen?

Nein - aber Du kannst jeden beliebigen Punkt auf der Geraden als Stützpunkt bzw. Stützvektor wählen. Folglich kann man zu dem Stützvektor ein beliebiges Vielfache des Richtungsvektor addieren.

Zum Beispiel: addiere zum Stützvektor das \((-3)\)'fache des Richtungsvektors und anschließend multipliziere letzteren mit \(-17\).
$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 40/17\\ 1\\ -3\end{pmatrix} + t^{*}\begin{pmatrix} 1\\ 13\\ -17\end{pmatrix}$$Dann bleibt nur noch ein Bruch übrig. Den bekommst Du in diesem Fall nicht weg.

Answer 3

Nein. Man darf nicht so ohne weiteres den Stützvektor multiplizieren.

Du darfst aber ein Vielfaches des Richtungsvektors zum Stützvektor addieren.

[37/17, - 22/17, 0] + 3·[- 1/17, - 13/17, 1] = [2, - 61/17, 3]

Allerdings lassen sich so leider nicht immer alle Brüche verhindern.

Sind die Vorzeichen in der Aufgabenstellung richtig. würde dort 22/17 statt -22/17 stehen würde auch die y-Koordinate schon aussehen.

[37/17, 22/17, 0] + 3·[- 1/17, - 13/17, 1] = [2, -1, 3]