Wie kommt es zu einer Geraden, bei der der Stützvektor nicht im Richtungsvektor enthalten ist

Question

Aufgabe:

Wie kommt es zu einer Geraden, bei der der Stützvektor nicht im Richtungsvektor enthalten ist?

Comments

wie kommt es zu einer Geraden, bei der der Stüzvektor nicht im Richtungsvektor enthalten ist

Was genau meinst du damit?

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g: x = M +µ*(C-B)

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Aha, C und B müssen Ortvektoren von zwei verschiedenen Punkten auf g sein. Dann ist ihr Differenzvektor ein möglicher Richtungsvektor von g. Ob der Stützvektor M daran beteiligt ist oder nicht, ist unerheblich.

Wenn zwei Punkte der Geraden g gegeben sind, dann ist es natürlich am einfachsten, einen der beiden Punkte zum Stützvektor zu machen und eine der beiden Differenzen der Ortsvektoren dieser Punkte zum Richtungsvektor.

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M ist Mittelpunkt einer Kugel. B und C sind Eckpunkte einer Ebene. Die Kugel soll parallel zu dieser Kante abrollen. Wie kommt es dann zu der Geraden? Was fehlt mir hier ?

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Was fehlt mir hier ?

Gar nichts.

Wenn die Kugel vom Ebenenpunkt B zum Ebenenpunkt C rollt, bewegt sich der Kugelmittelpunkt M zum Punkt M'.

Die Gerade MM' ist parallel zur Geraden BC.

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müssten das nicht zwei parallel Geraden sein? Das meine ich, was mir ev. fehlt.

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Wer drückt sich so ungeschickt aus? Du oder die Lehrkraft?

B und C sind Eckpunkte einer Ebene.

Eine Ebene hat keine Eckpunkte

Die Kugel soll parallel zu dieser Kante abrollen.

Eine Ebene hat auch keine Kante.

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Text erkannt:

g) Die Kugel rollt nun den Holzkörper hinab. Im Modell bewegt sich der Kugelmittelpunkt vom Punkt M aus parallel zur Kante [CB] auf einer Geraden g. Geben Sie eine Gleichung von \( \mathrm{g} \) an und berechnen Sie im Modell die Länge des Wegs, den der Kugelmittelpunkt zurücklegt, bis die Kugel die \( x_{1} x_{2} \)-Ebene berührt.

Die Ebene wird durch die Punkte B,C,T,S markiert. So wie das Modell aussieht habe ich mir das vorgestellt und für die Kante CB eine Gerade aufgestellt. Den Punkt M habe ich darauf nicht untergebracht und sehe auch im Modell zwei parallel Geraden und bei der für M keinen Partner.
Mir macht Mathe Spass aber ich bin kein Mathematiker.

Answer 1

Die Gerade ist parallel zu einer Geraden, welche durch die Punkte B und C verläuft.

Eventuell liegen B und C sogar auch auf g (zusätzlich zu M).

Answer 2

Du schreibst: 'Die Ebene wird durch die Punkte B,C,T,S markiert. So wie das Modell aussieht habe ich mir das vorgestellt und für die Kante CB eine Gerade aufgestellt. Den Punkt M habe ich darauf nicht untergebracht und sehe auch im Modell zwei parallel Geraden und bei der für M keinen Partner.' und lieferst eine Skizze dazu, in der T und S nicht verzeichnet sind.

Wenn B und C die Berührpunkte zwischen der Kugel und der Ebene sind, dann steht sowohl BM als auch CM' senkrecht auf der Ebene und beide haben die Länge des Kugelradius r. Wenn man jetzt die Koordinaten etwa von B kennt, kann man die Koordinaten von M bestimmen und als Stützvektor der Geraden MM' eignet sich \( \vec{OM} \).

Um dir das vorzuführen, müsste man mehr Daten haben, zum Beispiel drei Punkte der Ebene sowie die Koordinaten eines Kugelmittelpunktes.

Comments

M(5,6.5,3),

Text erkannt:

\( T\left[\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 3\end{array}\right] \)

Text erkannt:

\( s\left[\begin{array}{l}2 \\ 8 \\ 0\end{array}\right] \)

Text erkannt:

\( C\left[\begin{array}{c}10 \\ 4 \\ 3\end{array}\right] \)

Text erkannt:

\( B \cdot\left[\begin{array}{c}10 \\ 8 \\ 0\end{array}\right] \)

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Jetzt fehlt mir nur noch der Radius r der Kugel.

Dann geht es so: Die Punkte B, C und S definieren die Ebene.

\( \vec{BC} \)=\( \begin{pmatrix} 0\\-4\\3 \end{pmatrix} \) und \( \vec{CS} \)=\( \begin{pmatrix} -8\\4\\-3 \end{pmatrix} \) liegen in der Ebene. Dann steht \( \vec{BC} \) ×\( \vec{CS} \)=\( \begin{pmatrix} 0\\-24\\-32 \end{pmatrix} \) senkrecht auf der Ebene und hat die Länge 40. Dann ist \( \vec{OM'} \)=\( \begin{pmatrix} 10\\4\\3 \end{pmatrix} \)+\( \frac{r}{40} \) ·\( \begin{pmatrix} 0\\-24\\-32 \end{pmatrix} \).

Es kann aber sein, dass du statt \( \begin{pmatrix} 0\\-24\\-32 \end{pmatrix} \) den Vektor \( \begin{pmatrix} 0\\24\\32 \end{pmatrix} \) wählen musst.

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Der Radius r= 1.5 LE

Answer 3

Im Internet findest du die exakte Aufgabenstellung und auch die Lösung dieser Aufgabenstellung.

http://www.abitur.drothler.net/Q12_06L.pdf

Lies dir das doch einfach mal durch und stell dann präzise Fragen. Der Mittelpunkt der Kugel ist mit M(5 | 6,5 | 3) vorgegeben. Die Geradengleichung lautet daher

g: X = [5, 6.5, 3] + r * ([10, 8, 0] - [10, 4, 3])

Comments

Das diese Glechung so lautet ist mir ja klar. Bei mir hapert es an dem Verständnis dafür, dass der hier als Stützvektor verwendete Mittelpunkt nicht im Richtungsvektor verankert ist, so wie ich es bisher gekannt habe. Warum das so sein kann und wie ich das bei adäquaten Aufgaben erkennen kann, das ist mein Problem. Danke für die bisherigen Mühen.

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PS

Die Aufgabe habe ich, alle Zeichnungen habe ich so zuwege gebracht, den Radius und die Koordinaten des Auftreffpunktes habe ich. Mir fehlt das Verständnid für die gesuchte Gerade.

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Wenn du eine Gerade durch A und B aufstellst verwendest du normalerweise

X = A + R * AB

Also du verwendest A als Stütz und auch mit zur Berechnung des Richtungsvektors.

Nun sollen aber weger A noch B auf der Geraden liegen sondern die Gerade soll durch M gehen aber durch den Punkt M gehen. Dann verwendest du

X = M + r * AB

Der Richtungsvektor bleibt natürlich, aber der Stützvektor ändert sich zu M.

Hilft das bei deinem Verständnis?

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Wo erlese ich aus dem Aufgabentext dass die Gerad durch M gehen soll, dass ist mein Problem. Wenn ich das erkannt hätte , hättes einer Nachfrage nicht bedurft. Was stimmt bei mir nicht ?

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Im Modell bewegt sich der Kugelmittelpunkt vom Punkt M aus parallel zur Kante auf einer Geraden g.

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Das ist es. M bewegt sich nicht parallel zur Kante sonder "vom Punkt M".

Das Verstehen der Aufgabentexte ist mein persönliches Hauptproblem, daran bin ich schon oft verzweifelt.

Danke für die Mühe und volle Gesundheit!!

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und nun doch noch einmal:

Im Modell bewegt sich der Kugelmittelpunkt vom Punkt M aus parallel zur Kante auf einer Geraden g.

Wenn er sich parallel zur Kante auf einer Parallelen zu g bewegt, müsste er sich da nicht auf einer eigenen Geraden bewegen, die parallel zur Kante liegt?

Ich weiß, bei mir haperts.

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Er bewegt sich auf der Geraden g und diese Gerade g ist Parallel zur Kante.

Ja offensichtlich hast du eher Probleme mit Deutsch als mit Mathe.