Aloha :)
Wir formen zunächst die gegebene Kegelschnittgleichung um, indem wir auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens den Kehrwert nehmen:$$r=\frac{p}{1-\varepsilon\cos\varphi}\quad\Longleftrightarrow\quad\frac 1r=\frac{1-\varepsilon\cos\varphi}{p}\quad\Longleftrightarrow\quad\underbrace{\frac1r}_{=y(x)}=\underbrace{\frac1p}_{=c_1}-\underbrace{\frac{\varepsilon}{p}}_{=c_2}\,\underbrace{\cos\varphi}_{=x}$$Wir erhalten eine Geradengleichung der Form:$$y(x)=c_1-c_2\cdot x$$und sollen aus den angegebenen Messwerten die Konstanten \(c_1\) und \(c_2\) bestimmen. Aus der Tabelle können wir die Werte für \(\cos(\varphi)\) direkt als \(x\)-Werte übernehmen, denn \(x=\cos\varphi\). Die Werte für \(y\) sind aber die Kehrwerte von \(r\), denn \(y=\frac1r\). Daher lautet unsere Wertetabelle:$$\begin{array}{c|c}x & \frac{1}{10} & \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & \frac{10}{13} & 1\\[1ex]\hline\\[-2ex]y & 0,63 & 0,39 & 0,12 & -0,31 & -0,59\end{array}$$
Wir setzen diese Tabellenwerte in unsere Modellgleichung ein:$$\begin{pmatrix}0,63\\0,39\\0,12\\-0,31\\-0,59\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_1-\frac{1}{10}\,c_2\\[1ex]c_1-\frac15\,c_2\\[1ex]c_1-\frac25\,c_2\\[1ex]c_1-\frac{10}{13}\,c_2\\[1ex]c_1-c_2\end{pmatrix}=c_1\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}-\frac{1}{10}\\[1ex]-\frac15\\[1ex]-\frac25\\[1ex]-\frac{10}{13}\\[1ex]-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -\frac{1}{10}\\[1ex]1 & -\frac15\\[1ex]1 & -\frac25\\[1ex]1 & -\frac{10}{13}\\[1ex]1 & -1\end{pmatrix}\binom{c_1}{c_2}$$
Wir erhalten ein überbestimmtes Gleichungssystem für die beiden Parameter \(c_1\) und \(c_2\) mit 5 Gleichungen. Wir werden daher keine Werte für \(c_1\) und \(c_2\) finden, die alle Gleichungen erfüllen. Mit Hilfe der Normalengleichung können wir aber die Werte so bestimmen, dass die Summe der quadratischen Fehler minimiert wird. Dazu multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit der transponierten Koeffizientenmatrix:
$$\small\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\[1ex]-\frac{1}{10} & -\frac15 & -\frac25 & -\frac{10}{13} & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,63\\0,39\\0,12\\-0,31\\-0,59\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\[1ex]-\frac{1}{10} & -\frac15 & -\frac25 & -\frac{10}{13} & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -\frac{1}{10}\\[1ex]1 & -\frac15\\[1ex]1 & -\frac25\\[1ex]1 & -\frac{10}{13}\\[1ex]1 & -1\end{pmatrix}\binom{c_1}{c_2}$$$$\binom{0,24}{0,639462}=\begin{pmatrix}5 & -2,469231\\-2,469231 & 1,801716\end{pmatrix}\binom{c_1}{c_2}$$$$\binom{c_1}{c_2}=\begin{pmatrix}5 & -2,469231\\-2,469231 & 1,801716\end{pmatrix}^{-1}\cdot\binom{0,24}{0,639462}$$$$\binom{c_1}{c_2}=\binom{\phantom-0,690848}{1,301717}$$
Die Kometenbahn wird daher am besten beschrieben durch:$$r=\frac{p}{1-\varepsilon\cos\varphi}=\frac{1}{\frac1p-\frac{\varepsilon}{p}\cos\varphi}=\frac{1}{c_1-c_2\cos\varphi}=\frac{\frac{1}{c_1}}{1-\frac{c_2}{c_1}\cos\varphi}$$$$r(\varphi)=\frac{1,4475}{1-1,8842\,\cos\varphi}$$
Da der Parameter \(\varepsilon=1,8842\) größer als \(1\) ist, beschreibt der Komet eine Hyperbelbahn.
