Aufgabe:
Maximum Likelihood Schätzer 
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Die Anzahl an Fahrradfahrer:innen \( X \geq 0 \), die pro Minute durch die Rempartstrasse fahren, entspreche einer Poisson Verteilung mit dem unbekannten Parameter \( \lambda \) und der Dichtefunktion
\( f_{X}(x ; \lambda)=\frac{\lambda^{x}}{x !} e^{-\lambda}, \)
wobei \( x=0,1,2, \ldots \) und \( \lambda>0 \) gelten. Die Stichprobenvariablen \( X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} \) seien unabhängige Beobachtungen der Zufallsvariable \( X \).
(a) Stellen Sie die Likelihood-Funktion \( L\left(\lambda ; X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right) \) auf und berechnen Sie die logarithmierte Likelihood-Funktion \( \ln L\left(\lambda ; X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right) \).
(2 Punkte)
(b) Bestimmen Sie die Maximum-Likelihood-Schätzfunktion für \( \lambda \).
(3 Punkte)
(c) Zeigen Sie, dass Erwartungswert \( E[X]=\lambda \) gilt.
Hinweis: Nutzen Sie hierfür die Formel \( \sum \limits_{x=0}^{\infty} \frac{\lambda^{x}}{x !}=e^{\lambda} \).
(3 Punkte)
(d) Sie haben \( n=15 \) unabhängige Beobachtungen der Anzahl der Fahrradfahrer:innen pro Minute. Zusammenaddiert zählen Sie 225 Fahrradfahrer:innen. Was ist der MaximumLikelihood-Schätzer für \( \lambda \) ?
(2 Punkte)
Problem/Ansatz:
