induktionsschritt n -> n+1

Question

Text erkannt:

Beweisen Sie die folgende Aussage mit einem Induktionsbeweis:
\( \underset{n \in \mathbb{N}}{\forall} \quad \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{4 k}{3^{k}}=3-\frac{2 n+3}{3^{n}} . \)

Geben Sie Ihre Rechnungen mit Zwischenschritten an!
Inductionsanfang \( n \mapsto n+1 \)
\( \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{1} \frac{4 \cdot 1}{3^{1}}=\frac{4}{3} & =3-\frac{2 \cdot 1+3}{3^{1}} \\ \frac{4}{3} & =\frac{3}{1}-\frac{5}{3} \\ \frac{4}{3} & =\frac{9}{3}-\frac{5}{3} \\ \frac{4}{3} & =\frac{4}{3} \end{aligned} \)

Inclubtionsveranuenung
Fur \( \forall_{n \in \mathbb{N}} \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{4 k}{3^{k}}=3-\frac{2 n+3}{3^{n}} \)

Induletionsschritt \( n \mapsto n+1 \)
\( \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{4 k}{3^{k}} & =\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{4 k}{3^{k}}+\frac{4(n+1)}{3^{(n+1)}} \\ & =3-\frac{2 n+3}{3^{n}}+\frac{4(n+1)}{3^{(n+1)}} \\ & =3-\frac{(2 n+3) \cdot 3}{3^{n} \cdot 3}+\frac{4(n+1)}{3^{(n+1)}} \\ & =3-\frac{6 n+9+4 n+4}{3^{(n+1)}} \quad \text { dosung: } 3-\frac{6 n+9-4 n-4}{3^{(n+1)}} \\ & =3-\frac{2(n+1)+3}{3^{(n+1)}} \end{aligned} \)

Merue:

Problem/Ansatz:

Verstehe nicht warum beim vorletzten Schritt das Vorzeichen umgedreht wurde, nachdem der Bruch zusammengefasst wurde?

Answer 1

Da ist ein Fehler in Deinem Text. Es muss in der vorletzten Zeile heißen: -4n-4. Der Bruch wirkt wie eine Klammer.

Comments

Hab das nicht richtig verstanden. Soll ich um den Bruch eine Klammer setzen?

Text erkannt:

Induhtionsschritt \( n \mapsto n+1 \)
\( \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{4 k}{3^{k}} & =\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{4 k}{3^{k}}+\frac{4(n+1)}{3^{(n+1)}} \\ & =3-\frac{2 n+3}{3^{n}}+\frac{4(n+1)}{3^{(n+1)}} \\ & =3-\left(\frac{(2 n+3) \cdot 3}{3^{n} \cdot 3}+\frac{4(n+1)}{3^{(n+1)}}\right) \\ & =3-\frac{6 n+9+4 n+4}{3^{(n+1)}} \\ & =3-\frac{2(n+1)+3}{3^{(n+1)}} \end{aligned} \)

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Ja, aber vor dem letzten Bruch muss ein MINUS stehen.

a- b+c = a- (b-c)

Answer 2

Mach eine große Klammer um die Summe, bevor du den HN bildest.

Der Subtrahend bekommt ein negatives Vorzeichen. So kommt es zu den Minussen.

Comments

So?

Text erkannt:

Induhtionsschritt \( n \mapsto n+1 \)
\( \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{4 k}{3^{k}} & =\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{4 k}{3^{k}}+\frac{4(n+1)}{3^{(n+1)}} \\ & =3-\frac{2 n+3}{3^{n}}+\frac{4(n+1)}{3^{(n+1)}} \\ & =3-\left(\frac{(2 n+3) \cdot 3}{3^{n} \cdot 3}+\frac{4(n+1)}{3^{(n+1)}}\right) \\ & =3-\frac{6 n+9+4 n+4}{3^{(n+1)}} \\ & =3-\frac{2(n+1)+3}{3^{(n+1)}} \end{aligned} \)