Ist der Induktionsschritt richtig?

Question

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion folgende Aussagen.

Für alle natürlichen Zahlen n ist( 5^n) + 7 durch 4 ohne Rest teilbar.

Ist der Induktionsschritt richtig ?

Danke

Problem/Ansatz: Induktionsanfang : n=1

5^1 +7 = 12

12:4 = 3 also wahr

Induktionsbehauptung :

Es gibt ein n ⋲ N : ( 5^n) + 7 = 4k mit k Element Z .

Induktionsschritt:

(5^n+1 ) +7 => 5* (5^n) +7 => 5* 4k = 20k

20k ist durch 4 teilbar ohne Rest .

Answer 1

Da beweist gar nichts. Es ist dir nicht gelungen, die Teilbarkeit des Terms 5ⁿ⁺¹+7 durch 4 auf die Teilbarkeit von 5ⁿ+7 durch 4 zurückzuführen.

Zielgerichtet wäre die Umformung 5ⁿ⁺¹+7=5·5ⁿ+7=4·5ⁿ+5ⁿ+7.

(Der blau markierte Teil ist nach IV durch 4 teilbar, und 4·5ⁿ ist es auch.)

Comments

induktionsschritt :

(5^n+1) +7 => 5^n * 5 +7 => 5^n +5^n +5^n +5^n +5^n + 7 => 4*5^n + 5^n +7

somit bewiesen.

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Da fehlt jetzt aber noch ne Erklärung am Schluss und der Hinweis, wo die Ind. Ann. (die Du oben "Ind. Beh." genannt hast, dafür fehlt die Ind.Beh.) eingeht.

Und natürlich gehören da keine Folgerungspfeile hin, sondern =-Zeichen.

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induktionsschritt :

(5^n+1) +7 = 5^n * 5 +7 = 5^n +5^n +5^n +5^n +5^n + 7 = 4*5^n + 5^n +7

4*5^n ist durch 4 teilbar.

und 5^n +7 ist auch durch 4 teilbar ( Induktionsbehauptung) 5^n +7 = 4k mit k Element Z

die Summe von den beiden ist das ebenfalls durch 4 teilbar .

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Ja, viel besser so. Du verwechselst aber immer noch Ind.Beh. und Ind. Ann.. Mach Dir die Begriffe nochmal klar: "Beh." - da wird was behauptet, was also noch nicht bewiesen ist. "Ann." - da wird was angenommen, was also verwendet werden kann.

Answer 2

Nein, denn \( 5 \cdot (5^n+7) \neq 5 \cdot 5^n +7 \).