Unklare Komponenten bei der Ableitung einer Exponentialfunktion

Question

Hallo, ich hätte drei Fragen zu dieser Ableitung:

1. Wird v in der Ableitung nach der Zeit berücksichtigt? Oder nicht, unter der Annahme dass v0 ein konkreter Zahlenwert ist?

2. Was ist mit dem Exponenten von e? Kann ich den zu einer Variable zusammenfassen? Analog zur Überlegung aus 1. dürfte nur t als unabhängige Variable behandelt werden, da t0 und t1 feste Zahlenwerte sind oder?

3. Stimmt mein Lösungsansatz?

Answer 1

Ob m,v0,t1,t0 Konstanten sind, muss zuvor definiert werden - streng genommen. Allerdings wäre es ein grober Verstoß gegen mathematische Gepflogenheiten, wenn es anders wäre. Für die Berechnung der Ableitung würde ich von folgender Form ausgehen.

$$f(t):=0.5mv_0^2\left(1+\exp(\frac{t-t_1}{t_0})\right)^{-2}$$

Daraus

$$f'(t)=0.5mv_0^2(-2)\left(1+\exp(\frac{t-t_1}{t_0})\right)^{-3}\frac{d}{dt}(1+\exp(\frac{t-t_1}{t_0}))\\\quad =-mv_0^2\left(1+\exp(\frac{t-t_1}{t_0})\right)^{-3}\exp(\frac{t-t_1}{t_0})\frac{1}{t_0}$$

Answer 2

Bei der Ableitung musst du wohl nochmal die Kettenregel anwenden.

Ich meine es sei so:

\(  v_o \cdot (1 +e^{1+\frac{t-t_1}{t_o}} ) ^{-1} \) nach t ableiten gibt

\(  -v_o \cdot (1 +e^{1+\frac{t-t_1}{t_o}} )  ^{-2} \) mal Abl. von \(  1 +e^{1+\frac{t-t_1}{t_o}}  \)

Und die Abl. von \(  1 +e^{1+\frac{t-t_1}{t_o}}  \) ist

\( e^{1+\frac{t-t_1}{t_o}} \)  mal Ableitung von \( \frac{t-t_1}{t_o} \)

Und letztere ist \( \frac{1}{t_o} \).

Comments

Ok. Also sind vo, to und t1 Konstanten aber bei t und to gilt die Produktregel? Und woher kommt die plus eins im Exponenten?