Vektoren, Norm, Skalarprodukt

Question

Text erkannt:

a) Gegeben sind die Vektoren
\( v=\left(\begin{array}{l} 2+3 i \\ 1+2 i \end{array}\right) \text { und } w=\left(\begin{array}{c} 1-2 i \\ -2+3 i \end{array}\right) \in \mathbb{C}^{2} . \)
i. Berechnen Sie die Skalarprodukte \( \langle v, v\rangle \) und \( \langle v, w\rangle \).
ii. Berechnen Sie \( \|v\|_{1},\|v\|_{\infty} \) und \( \|v\|_{2} \).
iii. Bestimmen Sie eine Basis von \( \operatorname{spann}(v, w) \).
b) Sei \( n \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie, dass für alle \( x, y \in \mathbb{R}^{n} \) gilt:
\( \|x+y\|_{2}^{2}-\|x-y\|_{2}^{2}=4(x, y) \)

Ich verstehe Aufgabe ii) und iii) nicht

Answer 1

(ii) Das sind die jeweiligen Normen. Die stehen in Deinen Unterlagen, als Starthilfe: \(\|x\|_1:=\sum\limits_{i=1}^n|x_i|\) für einen Vektor \(x\in\mathbb{C}^n\).

(iii) Es geht um den aufgespannten Unterraum. Prüfe dazu, ob die beiden Vektoren linear unabhängig voneinander sind. Das geht wie im reellen: prüfe, ob der eine ein Vielfaches des anderen ist.