Hatte jemand andere Untersuchungsideen?

Question

Aufgabe:

$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{n^2} $$

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

ich komme leider mit dieser Reihe nicht klar - Leibniz-Kriterium ist nicht anwendbar, Quotioentenkriterium ebenfalls,$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} | \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{n^2}|$$ divergiert. Konnte auch keine Passende Reihe für den Vergleichstest ausdenken. Hatte jemand andere Untersuchungsideen?

Danke im Voraus.

Comments

Auch der Vergleichstest geht: Für \(n \geq 2\):

$$\frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{n^2} \geq \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}  \geq \frac{1}{n}-\frac{1}{2n}=0.5 \frac{1}{n}$$

Answer 1

Wir betrachten die Partialsummen (damit alles math. sauber ist).

\(S_k=\sum\limits_{n=1}^k \frac1n+\frac{(-1)^n}{n^2}\)

\(A_k=\sum\limits_{n=1}^k \frac1n\)

\(B_k=\sum\limits_{n=1}^k \frac{(-1)^n}{n^2}\)

Wir wissen \(B_k\) konv. für \(k\to\infty\) und \(A_k\) nicht.

Nun indirekt: Angenommen \(S_k\) konv. für \(k\to\infty\), dann auch (Grenzwertsätze) \(S_k-B_k\), aber \(S_k-B_k=A_k\), was nicht konvergiert. Widerspruch. Also divergiert \(S_k\).

Comments

Bin nicht auf die Idee gekommen, die Grenzwerte zu nutzen. Danke für die Antwort!