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Aufgabe:

Stellen sie  \( z = \frac{(\sqrt{3} - i)^{15}}{(2 + 2i)^7} \) in der (algebraischen) Form von x+yi dar.

hier fällt mir leider gar kein Ansatz ein

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Aloha :)

Mit den binomischen Formeln finden wir:$$(\sqrt3-i)^3=(\sqrt3)^3-3\cdot(\sqrt3)^2\cdot i+3\sqrt{3}\cdot i^2-i^3\stackrel{(i^2=-1)}{=}3\sqrt3-9i-3\sqrt3+i=-8i$$$$(2+2i)^2=2^2+2\cdot2\cdot2i+(2i)^2\stackrel{(i^2=-1)}{=}4+8i-4=8i$$

Daher folgt für den Bruch:$$z=\frac{(\sqrt3-i)^{15}}{(2+2i)^7}=\frac{1}{2+2i}\cdot\frac{\left((\sqrt3-i)^3\right)^5}{\left((2+2i)^2\right)^3}=\frac{\pink{(2-2i)}}{(2+2i)\pink{(2-2i)}}\cdot\frac{(-8i)^5}{(8i)^3}$$$$\phantom z=\frac{2-2i}{8}\cdot\left(\frac{-8i}{8i}\right)^3\cdot(-8i)^2=\frac{1-i}{4}\cdot(-1)\cdot(-64)=\boxed{16-16i}$$

Avatar von 152 k 🚀

Die von abakus angegebene Lösungsidee (über die Polardarstellung) gefällt mir deutlich besser. Es war nicht verlangt, den gesamten Lösungsweg, sondern nur das Ergebnis in kartesischer Form anzugeben.

Mir gefällt mein Lösugsweg besser ;)

Die Schwierigkeit bei dieser Lösung besteht meiner Meinung nach darin, zu erkennen, dass sowohl Zähler als auch Nenner irgendwie 8i bzw. -8i enthalten.

danke dir sonst machen wir das immer über die polardarstellung wie abakus vorschlag aber das fiel mir bei diesem beispiel sehr schwer.

hier konnte ich alles nachvollziehen

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Der Zähler hat den Betrag 215, der Nenner hat den Betrag (2√2)7.

Der Zähler hat das Argument 15*(-30°), der Nenner hat das Argument 7*45°.

Kannst du jetzt den Quotienten bilden?

Avatar von 55 k 🚀

wie kommt man auf 15*(-30) und 7*45

betrag hab ich verstanden hab auch das gleiche rausbekommen

beim zähler argument erhalte ich einmal cos α=\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)

und sin α = -\( \frac{1}{2} \)

also \( \frac{11π}{6} \)

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