Trefferquote und Binomialverteilung

Question

Aufgabe:

Ein Sportschütze trifft die Wurfscheiben mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%. Eine Serie besteht aus 10 Schüssen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten die folgenden Ereignisse ein?

B: Nur der dritte Schuss ist kein Treffer.

C: Die Serie wird mit genau 8 Treffern beendet.

Problem/Ansatz:

Wie rechnet man die B und C bitte genau erklären handelt es sich um Punktwahrscheinlichkeit oder links- oder rechtsseitige intervallwahrscheinlichkeit ?

Answer 1

a)

p = 0,9^2 * 0,1 * 0,9^7

b)

p = \( \binom{10}{8} \) * 0,9⁸ * 0,1²

Comments

Ich verstehe bei der zweiten Lösung Punktwahrscheinlichkeit aber die erste verstehe ich nicht. Wir rechnen das nie so. Sondern immer nach dem Schema der Punktwahrscheinlichkeit oder links- oder rechtsseitige intervallwahrscheinlichkeit. Welches trifft zu bei der ersten Lösung? Also a) 

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Bei der ersten Aufgabe werden 10 Schüsse abgegeben.

Die Wahrscheinlichkeit hat 10 Faktoren, und zwar jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass der Schuss trifft oder nicht nicht trifft.

Manche Mathelehrer sagen dem "Pfadregel" ("Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses in einem mehrstufigen Vorgang ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades, der diesem Ergebnis entspricht.").

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Dankeschön die Pfadregel kenne ich auf jeden Fall! Es muss also gar nicht immer nach dem Schema meines Lehrers sein.

Kann ich auch so rechnen? (10über9) × 0,9⁹ × 0,1^1 ? Bei mir kommt qber 0,387 raus

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Das wäre die Wahrscheinlichkeit, dass es einen Nichttreffer gibt.

Der kann irgendwo in der Serie sein. Gefragt wird aber für den Nichttreffer an einer bestimmten Stelle.

Darum hast Du eine Wahrscheinlichkeit, die um den Faktor 10 höher ist.

\(\displaystyle \binom{10}{9} = 10\)

Der Binomialkoeffizient, der bei Dir geschrieben steht und bei mir nicht, muss weg. Dann sind auch die Formeln dieselben.

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noch eine Frage zur einer anderen Aufgabe ich soll erläutern, wie man bei einer bernoullu-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen kann.

wendet man bei P(2<X=<5) die zweiseitige intervallwahrscheinlichkeit an ? Würde da dann stehen P(2<X=<5) = P(x=<5) - P(x<1) zum weiterrechnen?

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nicht - P(x<1) sondern - P(x≤2)

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ah okay danke und wieso?

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Warum? Darum:

Answer 2

a) Die Stelle spielt hier keine Rolle:
Für jeden, einzigen Fehlschuss gilt.
0,1*0,9^9 = 0,0387 = 3,87%

Es geht um Punktwahrscheinlichkeiten.

Comments

Kann ich auch so rechnen? (10über9) × 0,9⁹ × 0,1^1 ? Bei mir kommt qber 0,387 raus

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Nein, das ist die WKT: genau ein Fehlschuß bei 10 Versuchen.

Der Fehlschuss kann aber dabei an jeder Stelle vorkommen, nicht nur an einer bestimmten. Das ist nicht gefragt.

Answer 3

Ein Sportschütze trifft die Wurfscheiben mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%. Eine Serie besteht aus 10 Schüssen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten die folgenden Ereignisse ein?

B: Nur der dritte Schuss ist kein Treffer.

0.9^2·0.1·0.9^7 = 0.0387

C: Die Serie wird mit genau 8 Treffern beendet.

Hier gibt es unterschiedliche Interpretationsmöglichkeiten.

Am Ende der Serie hat man genau 8 Treffer. Damit ist der zweite Schuss ein Nichttreffer und der erste Schuss ist egal. Weil nicht nur die Bedingung 8 Treffer ist, sondern nochmals auf die Serie hingewiesen wird würde ich zu dieser Interpretation tendieren.

1·0.1·0.9^8 = 0.0430

Die Serie hat genau 8 Treffer egal wo

(10 über 8)·0.9^8·0.1^2 = 0.1937