Beschreiben die Gleichungen dieselbe Gerade?

Question

Aufgabe :
Beschreiben die Gleichungen dieselbe Gerade?

\(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\0\\5 \end{pmatrix} \) + t × \( \begin{pmatrix} 2\\2\\-2 \end{pmatrix} \)
und
\(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\0\\5 \end{pmatrix} \) + t × \( \begin{pmatrix} - 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \)


Problem: Wie geht man da vor? Wie findet man das raus und was muss man rechnen?

Comments

https://de.serlo.org/mathe/1939/lagebeziehung-zwischen-zwei-geraden

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(-1, -1, 1 ) ist das -1/2-Fache von (2,2,-2)

Answer 1

Die Gleichungen beschreiben genau dann die selbe Gerade, wenn die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind, wenn also

        \(\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}=\alpha\cdot \begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\)

für ein \(\alpha\in \mathbb{R}\) ist, und der Aufpunkt der einen Gerade auf der anderen gerade liegt, wenn also

        \(\begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}+ t\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}\)

für ein \(t\in \mathbb{R}\) ist.

Answer 2

Da die Orts- bzw. Stützvektoren der Geraden gleich sind, gehen beide Geraden durch einen gemeinsamen Punkt.

Da auch noch die Richtungsvektoren linear abhängig sind, haben beide Geraden die gleiche Richtung und sind daher identisch.