mathematik gausche regel

Question

Übung 6 Extremalproblem

Unter dem Graphen von f(x) = e^{-x²} wird ein achsenparalleles Rechteck mit den Eckpunkten A(-z | 0), B(z | 0), C(z | f(z)), D(-z | f(-z))  einbeschrieben. Wie muss z gewählt werden, wenn der Flächeninhalt des Rechtecks maximal werden soll?

Comments

Es wäre wahrscheinlich nützlich, darüber nachzudenken, dass und weshalb bei maximalem Flächeninhalt C und D auch die Wendepunkte von f(x) sind.

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Eine ähnliche Aufgabe:

Ein achsenparalleles Rechteck soll unter dem Graphen von \(p(x)=cos(x)+1\) einbeschrieben werden. Wie sind die Seiten zu wählen, dass das Rechteck maximal wird.

Ferner soll untersucht werden, ob auch hier der Punkt C mit dem Wendepunkt von   \(p(x)\) übereinstimmt.

HB:  \(A(u)=2u\cdot f(u)\) soll maximal werden.

NB:  \(f(u)=cos(u)+1\)

\(A(u)=2u\cdot (cos(u)+1)\)

\(A'(u)=2\cdot (cos(u)+1)+2u \cdot (-sin(u)) \)

\(A'(u)=2\cdot (cos(u)+1)-2u \cdot sin(u) \)

\(2\cdot (cos(u)+1)-2u \cdot sin(u)=0 \)

\( cos(u)+1-u \cdot sin(u)=0 \)

Mit Wolfram: \(u≈1,31\)   \(f(1,31)=cos(1,31)+1≈1,26\)

Das Rechteck ist ≈2,62 LE lang und  ≈1,26LE breit.

Wendepunkt:

\(p'(x)=-sin(x)\)

\(p''(x)=-cos(x)\)

\(-cos(x)=0\)

\(cos(x)=0\)

\(x=\frac{π}{2}≈1,57\)

Es existiert somit keine Übereinstimmung.

Answer 1

Hallo

die abgebildete Aufgabe hat nix mit deinem Text zu tun zu deinem Text, da du aber nicht wir wissen was f(x9 bzw f(z) ist kannst du dacheinfach die Fächer des Rechtecks ausrechnen und dann Ableiten um das max zu finden. Wo genau liegt dein Problem

soweit dein Text, dann 2 weitere Aufgaben  Was daran kannst du nicht, stelle genaue Fragen und nicht einfach eine Liste deiner

Gruß lul

Answer 2

6.

A(z) = 2·z·f(z) = 2·z·e^(- z^2)

A'(z) = e^(- z^2)·(2 - 4·z^2) = 0 --> z = √2/2 = 0.7071

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Der rechte obere Eckpunkt des Rechtecks ist \(C(z|f(z))\) bzw. \(C(z|e^{-z^2})\). Rechts oben heißt insbesondere, dass \(z>0\) gilt. Wegen der Symmetrie des Rechtecks gilt für dessen Fläche:$$F(z)=\underbrace{\overbrace{2z}^{\text{Breite}}}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{e^{-z^2}}^{\text{Höhe}}}_{=v}$$

Diese Fläche soll maximal werden. Kandidaten für Extremstrellen finden wir dort, wo die Ableitung verschwindet. Wir leiten die Funktion daher mit Produkt- und Kettenregel ab:$$F'(z)=\underbrace{2}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{-z^2}}_{=v}+\underbrace{2z}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{e^{\pink{-z^2}}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{(\pink{-2z})}^{\text{innere Abl.}}}_{=v'}=2e^{-z^2}\cdot\left(1-2z^2\right)\stackrel!=0$$

Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, kann die Ableitung nur dann verschwinden, wenn der Term in der Klammer verschwindet:$$1-2z^2\stackrel!=0\implies2z^2=1\implies z^2=\frac12\stackrel{(z>0)}{\implies}z=\frac{1}{\sqrt2}$$