Partialbruchzerlegung Verwirrung wegen Linearfaktorzerlegung

Question

Hallo zusammen,

ich bin gerade ziemlich verwirrt was meine Nullstellen in der im Bild dargestellten Partialbruchzerlegung angeht und weiß nicht wie ich das interpretieren soll. Ich wollts erst mit der binomischen Formel versuchen. Wenn ich die Nullstellen jetzt aber berechne indem ich den Nenner 0 setze und in das rechte Verfahren einsetze, bekomme ich für den weiteren Verlauf doch etwas anderes heraus.

Vielen lieben Dank im Voraus!

Comments

https://www.integralrechner.de/

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Ich weiß jetzt nicht was das mit meiner Frage zu tun hat.

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Diese Seite ist eine gute Kontrollmöglichkeit und liefert auch den Rechenweg.

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Ich kenne die Seite und ähnliche, das hat aber trotzdem rein gar nichts mit meiner Frage zu tun.

Answer 1

Das von dir angegebene Verfahren bezieht sich auf den Fall, wenn alle Nullstellen des Nennerpolynoms einfach sind.

Bei deinem Nennerpolynom ist aber \(u=0\) eine doppelte Nullstelle. Daher ist ein Ansatz für die Partialbruchzerlegung

\(\frac{3u^2+2u+4}{u^{\color{blue}2}(1+u)(1-u)} = \frac A{u^{\color{blue}2}} + \frac Bu + \frac C{1+u} + \frac D{1-u}\)

Hier ist das Ergebnis.

Ergänzung zum Kommentar:

Faktorisierung des Nennerpolynoms per Nullstellen:

Leitkoeffizient:

\(u^2(1-u^2) = {\color{blue}-}u^4+u^2 \Rightarrow \) Leitkoeffizient: \(\color{blue}-1\)

Nullstellen:

\(0,0,-1,1\)

Polynom:

\({\color{blue}(-1)}\cdot u^2(u+1)(u-1) =-u^2(u^2-1) = u^2(1-u^2) \)

Grundsätzlich:
Wenn \(x_1,\ldots , x_n\) die Nullstellen des Polynoms

\(p(x) ={\color{blue}a_n}x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x + a_0\) sind,

dann gilt

\(p(x) ={\color{blue}a_n}(x-x_1)\cdot \cdots \cdot (x-x_n)\)

Daher immer beim Faktorisieren per Nullstellen den Leitkoeffizienten mit beachten.

Comments

Ok evtl habe ich meine Frage falsch formuliert. Der Ansatz für das weitere Verfahren ist mir klar bzw stellt das nicht das Problem dar. Es ging mir darum, wieso wenn ich die Linearfaktorzerlegung einmal anhand der binomischen Formel vornehme und einmal durch Nullsetzen des Terms zwei unterschiedliche Dinge rauskommen würden. Das ist auch unabhängig davon ob ich vorne eine doppelte Nullstellen habe.

Demnach hätte ich ja (u-1) und (u+1) und nicht (1-u) und (1+u)

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Zur Faktorisierung per Nullstellen gehört auch immer der Leitkoeffizient - also der Koeffizient vor der höchsten Potenz:

\(u^2(1-u^2) = {\color{blue}{-}}u^4+u^2\)

\(={\color{blue}{-}}(u^2(u^2-1)) ={\color{blue}{-}}u^2(u+1)(u-1) \)

Deshalb unterscheidet sich hier bei dir die Faktorisierung per binomischer Formel

\(1-u^2 = (1-u)(1+u)\)

von der Faktorisierung per Nullstellen durch den Faktor \((-1)\), da du den Leitkoeffizienten nicht beachtet hast.

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Vielen Dank, das beantwortet meine Frage. Daran habe ich nicht gedacht.

Answer 2

Aloha :)

Deine Substitution mit \(u\coloneqq e^x\) und \(\frac{du}{dx}=e^x=u\) bzw. \(dx=\frac{du}{u}\) ist korrekt:$$I=\int\frac{3e^x+4e^{-x}+2}{1-e^{2x}}\,dx=\int\frac{3u+4u^{-1}+2}{1-u^2}\,\frac{du}{u}=\int\frac{3u^2+4+2u}{u^2(1-u^2)}\,du$$

Wenn dun nun den Integranden in seine Partialbrüche zerlegen möchtest, reicht dir die angegebene Formel nicht aus, da du im Nenner nicht nur Linearfaktoren, sondern auch den quadratischen Term \(u^2\) stehen hast. Ist der Nenner eines Partialbruches ein quadratischer Term, musst du im Zähler einen linearen Term ansetzen. Der korrekte Ansatz ist also:$$\frac{3u^2+2u+4}{u^2(1-u)(1+u)}=\frac{\pink{Au+B}}{u^2}+\frac{C}{1-u}+\frac{D}{1+u}$$

Einige Autoren teilen den Partialbruch mit dem linearen Zähler in 2 Partialbrüche auf:$$\frac{Au+B}{u^2}=\frac{Au}{u^2}+\frac{B}{u^2}=\frac{A}{u}+\frac{B}{u^2}$$

Ich erhalte als Zerlegung:$$\small\frac{3u^2+2u+4}{u^2(1-u)(1+u)}=\frac{2u+4}{u^2}+\frac{\frac92}{1-u}+\frac{\frac52}{1+u}=\frac2u+\frac{4}{u^2}+\frac{5}{2(u+1)}-\frac{9}{2(u-1)}$$

Damit kannst du die gesuchte Stammfunktion sofort hinschreiben:$$I=-\frac4u+2\ln u+\frac52\ln(u+1)-\frac92\ln(u-1)+\text{const}$$$$\phantom I=-\frac{4}{e^x}+2x+\frac52\ln(e^x+1)-\frac92\ln(e^x+1)+\text{const}$$

Comments

Hallo, vielen Dank wieder einmal für die Mühe!! Tatsächlich ging es mir in der Frage allerdings nur um die Linearfaktorzerlegung. Wieso ich einmal (u-1) und (u+1) rausbekomme und einmal (1-u) und (1+u). Weitergerechnet habe ich mit dem binomischen Term und bin auf die selbe Lösung gekommen. Nur bin ich mir nun unsicher, da in der allgemeinen Formel die Nullstellen anhand der Form (x-x1) und (x-x2) etc zerlegt werden.