Nenner faktorisieren Partialbruchzerlegung

Question

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Führen Sie eine reelle Partialbruchzerlegung durch:
\( \frac{5 x^{2}-5 x+6}{x^{3}-x^{2}+2 x-2}=\quad \frac{3 x-2}{x^{2}+2}+\frac{2}{x-1} \)

Bei folgender Aufgabe habe ich zwei Fragen:

1. wie kann ich den Nenner auf diese Weise faktorisieren? Ich habe es mit einer Polynomdivision versucht, aber komme nicht darauf.

2. welche Zahl wurde für den ersten Zähler eingesetzt, dass 3x-2 herauskommt. Normalerweise nimmt man ja die Nullstelle des Nenners, aber weil man hier eine Wurzel einer negativen Zahl ziehen muss, bin ich mir etwas unsicher.

Answer 1

Aloha :)

Zur Faktorisierung des Nenners, einfach \((-x^2)\) und \((+2x)\) vertauschen:$$\small x^3-x^2+2x-2=(x^3+2x)-(x^2+2)=x(x^2+2)-(x^2+2)=(x-1)(x^2+2)$$

Der Ansatz für die Partialbruch-Zerlegung lautet daher:$$\frac{5x^2-5x+6}{(x-1)(x^2+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+2}+\frac{C}{x-1}$$

Im Kopf multiplizierst du nun die Gleichung auf beiden Seiten mit \((x-1)\) und setzt anschließend \(x=1\) ein:$$\blue{\frac{5x^2-5x+6}{(x^2+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+2}(x-1)+C\stackrel{x=1}{\implies}\frac63=C\implies C=2}$$

Da \((x^2+2)\) in \(\mathbb R\) nicht Null wird, klappt dieses Vorgehen nicht beim ersten Bruch. Da du nun aber \(C=2\) kennst, kannst du zwei \(x\)-Werte wählen und einsetzen:$$x=0\implies\frac{6}{-2}=\frac{B}{2}+\frac{C}{-1}\implies-3=\frac B2-2\implies B=-2$$$$x=2\implies\frac{16}{6}=\frac{2A+B}{6}+\frac{C}{1}\implies\frac{16}{6}=\frac{2A-2}{6}+2\implies A=3$$

Damit ist die Zerlegung gefunden:$$\frac{5x^2-5x+6}{(x-1)(x^2+2)}=\frac{3x-2}{x^2+2}+\frac{2}{x-1}$$

Answer 2

Hallo

Dass x=1 eine Nullstelle des N ist sieht man leicht, und ja, danach Polynomdivision  warum die bei dir nicht klappt kann ich ohne deine Rechnung nicht sehen.

wenn man nur reell rechnet macht man den Ansatz (ax+b)/(x^2)+c/(x-1) und bestimmt a,b,c durch Koefizienten Vergleich . Du bringst (ax+b)/(x^2)+c/(x-1) auf den Hauptnenner, dann hast du im Zähler Teile mit x^2 die Koeffizienten müssen 5 ergeben die von x  -1 ud die Zahlen 6, damit hast du ein lineares GS für a,b,c

Gruß lul

Answer 3

Der Nenner hat offensichtlich 1 als Nullstelle (da kann man schon drauf kommen). Mit PD spaltet man den Faktor ab und dann bleibt noch \(x^2+2\).

Zur Bestimmung der Zähler in der PD besser keine Rezepte auswendig lernen, sondern die Ansätze verstehen.

Hier muss \(\frac{Ax+B}{x^2+2}+\frac{C}{x-1}\) angesetzt werden. Bring das wieder auf den Hauptnenner und vergleiche die Zähler. Hier kann man dann einsetzen (man sieht dann, dass \(x=1\) geschickt ist um \(C\) zu bestimmen) und weiter dann mit Koeffizientenvergleich.

Answer 4

1. Erste Nullstelle raten, sie muss ganzzahliger Teiler von 2 sein. x= 1 ist Nullstelle

2. Der Zähler lässt sich nicht faktorisieren, man kann nicht kürzen

Answer 5

1. wie kann ich den Nenner auf diese Weise faktorisieren? Ich habe es mit einer Polynomdivision versucht, aber komme nicht darauf.

\( \frac{5 x^{2}-5 x+6}{x^{3}-x^{2}+2 x-2}=\quad \frac{3 x-2}{x^{2}+2}+\frac{2}{x-1} \)

\( x^{3}-x^{2}+2 x-\red{2}=0 \)

mögliche Nullstellen sind die Teiler von \( \red{2}=[1,-1,2,-2]\)

Durch Probieren erhältst du \(x=1\)

Polynomdivision:

 \( (x^{3}-x^{2}+2 x-2):(x-1) =x^2+2\)

\( -(x^3-x^2)\)

..........................

                   \(2x-2\)

              \(-(2x-2)\)

.................................

                         0

Answer 6

Entweder durch Ausklammern faktorisieren. Das sieht man hier sehr schön. Alternativ zur Polynomdivision kann man auch das Horner Schema verwenden. Viele Schüler kommen damit besser klar.