Aloha :)
Den Bruch kannst du in den reellen Zahlen nicht weiter in Partialbrüche zerlegen, weil der Nenner keine Nullstellen in \(\mathbb R\) hat.
Zur Bestimmung des Integrals würde ich wie folgt vorgehen:
$$\int\left(x-4+\frac{-x+9}{x^2+1}\right)dx=\int\left(x-4-\frac12\cdot\pink{\frac{2x}{x^2+1}}+9\cdot\green{\frac{1}{1+x^2}}\right)dx$$
Den pinken Bruch habe ich so geschrieben, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steht. Darauf kannst du ein bekanntes Standardintegral anwenden:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln\left|f(x)\right|+\text{const}$$
Der grüne Bruch ist ebenfalls ein bekanntes Standardintegral:$$\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+\text{const}$$
Damit sind wir fertig:$$\int\left(x-4+\frac{-x+9}{x^2+1}\right)dx=\frac{x^2}{2}-4x-\frac12\pink{\ln|x^2+1|}+9\green{\arctan(x)}+\text{const}$$
