Hallo,
Die Polynomdivision ist richtig, es ist$$ \frac{x^{5} - 3x^{4}+19x^{2} - 19x +6}{x^{3 }-5x^{2} + 8x -4} = x^2+2x+2 + \frac{17x^2-27x+14}{x^{3}-5x^{2}+8x-4}$$Für die Partialbruchzerlegung benötigt man ein Produkt im Nenner. Dazu muss man bei einem Polynom die Nullstellen finden. Die erste findet man durch Raten - es ist \(x_1=1\) eine Nullstelle. Also führt man eine weitere Polynomdivision durch$$\frac{x^{3}-5x^{2}+8x-4}{x-1} = x^2-4x+4 = (x-2)^2$$Und dem Ergebnis sieht man bereits an, dass es sich um eine bekannte binomische Formel handelt. Falls man das nicht sieht, hilft die pq-Formel.
Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung ist also$$\frac{17x^2-27x+14}{(x-1)(x-2)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac B{x-2} + \frac C{(x-2)^2} $$das ist ein wenig viel Algebra .. deshalb erspare ich mir hier die Details. Falls Du dazu Fragen hast, so melde Dich bitte. Die Lösung ist \(A= 4\), \(B=13\) und \(C=28\).
Schlußendlich ist somit folgende Reihe von Integralen zu lösen$$\int \frac{x^{5} - 3x^{4}+19x^{2} - 19x +6}{x^{3 }-5x^{2} + 8x -4}\,\text dx \\ = \int x^2\,\text dx + \int 2x\,\text dx + \int 2\,\text dx + \int \frac{4}{x-1}\,\text dx + \int \frac{13}{x-2}\,\text dx + \int \frac{28}{(x-2)^2}\,\text dx$$Tipp:$$\int \frac 4{x-1}\,\text dx = 4\ln(x-1) + C \\ \int \frac {28}{(x-2)^2}\,\text dx = \frac{28}{2-x} +C$$Gruß Werner
