Unbestimmtes Integral: ∫(-e^{-x+1})*sqrt(x+e^{-x}) dx

Question

Aufgabe:

 ∫(-e^{-x+1})*sqrt(x+e^{-x}) dx

LaTeX: https://www.matheretter.de/rechner/latex?tex=%5Cint%20%5Climits_%7B1%7D%5E%7B2%7D(-e%5E%7B-x%2B1%7D)*%5Csqrt%7Bx%2Be%5E%7B-x%7D%7Ddx
$$\int \limits_{1}^{2}(-e^{-x+1})\cdot\sqrt{x+e^{-x}}\,\text{d}x$$

Problem/Ansatz: Ich habe all die mir bekannten Verfahren versucht, mit der trigonometrischen Substitution habe ich leider kaum Erfahrung, und komme leider auf keinen Lösungsansatz. Über einen Tipp zu einem korrekten Ansatz würde ich mich daher freuen. Vielen Dank für Eure Hilfe schon einmal im Voraus!

P.S.: Integralrechner sind auch wenig hilfreich.

Comments

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 1

Bist Du Dir zu 100% sicher, dass das Integral nicht so heißt:

$$\int (-e^{-x}+1)\sqrt{x+e^{-x}}dx$$

Ich könnte wetten!!!

Comments

Danke für die rasche Antwort! In meinem Buch steht es so geschrieben, doch ist das Buch auch für seine zahlreichen Fehler bekannt. Daher kann es wohl gut möglich sein, dass Du im Recht bist.

Answer 2

Aloha :)

Der Term \((x+1)\) im Exponenten ist sehr wahrscheinlich falsch abgetippt, denn das Integral ist sehr schwierig zu bestimmen. Wenn die \((+1)\) aber als Summand runterfällt:

$$\int\underbrace{\left(-e^{-x}+1\right)}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\sqrt{x+e^{-x}}\,dx$$

erkennst du sofort, dass der Faktor \((-e^{-x}+1)\) die Ableitung des Argumentes unter der Wurzel \((x+e^{-x})\) ist. Das führt dann auf folgende Substitution:$$u(x)\coloneqq (x+e^{-x})\implies\frac{du}{dx}=(1-e^{-x})$$Das Integral vereinfacht sich dann zu:$$\int\frac{du}{dx}\cdot\sqrt{u}\,dx=\int u^{\frac12}\,du=\frac23u^{\frac32}+\text{const}=\frac23\left(x+e^{-x}\right)^{\frac32}+\text{const}$$

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Hallo, vielen Dank für die zügig erfolgte Antwort! Es mag wohl möglich sein, dass hier tatsächlich ein Druckfehler vorliegt. Sollte das der Fall sein, ist die Lösung des Integrals natürlich einleuchtend. Trotzdem danke ich nochmals für den Hinweis und die ausführliche Erklärung! Grüße.