Aloha :)
Der Term \((x+1)\) im Exponenten ist sehr wahrscheinlich falsch abgetippt, denn das Integral ist sehr schwierig zu bestimmen. Wenn die \((+1)\) aber als Summand runterfällt:
$$\int\underbrace{\left(-e^{-x}+1\right)}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\sqrt{x+e^{-x}}\,dx$$
erkennst du sofort, dass der Faktor \((-e^{-x}+1)\) die Ableitung des Argumentes unter der Wurzel \((x+e^{-x})\) ist. Das führt dann auf folgende Substitution:$$u(x)\coloneqq (x+e^{-x})\implies\frac{du}{dx}=(1-e^{-x})$$Das Integral vereinfacht sich dann zu:$$\int\frac{du}{dx}\cdot\sqrt{u}\,dx=\int u^{\frac12}\,du=\frac23u^{\frac32}+\text{const}=\frac23\left(x+e^{-x}\right)^{\frac32}+\text{const}$$
