Bestimmen Sie die Gleichung von f. Lineares Gleichungssystem (BMX-Bahn)

Question

Aufgabe:

Beim Bau einer BMX-Bahn sollen zwei
geradlinige Streckenteile durch ein Poly-
nom f 3. Grades „glatt“ verbunden werden.
a) Bestimmen Sie die Gleichung von f.
b) In welchem Punkt ist f am steilsten?
Wie groß ist dort der Steigungswinkel?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe gar nicht wie ich anfangen soll. Ich hatte überlegt mir erst einmal ein paar Voraussetzungen aufzuschreiben, so wie zum Beispiel der Punkt P (0|0) und ein Hochpunkt an (4|2). Aber das würde nicht für ein lineares Gleichungssystem ausreichen oder?

Unten seht ihr auch die Skizze für die Aufgabe. Ich freue mich über eure Hilfe.

Answer 1

Hallo :-)

Du hast schonmal die ersten zwei Eigenschaften richtig erkannt:

1.) \(f(0)=0\) für Punkt \((0|0)\)

2.) \(f(4)=2\) für Punkt \((4|2)\)

Nun wird im Text noch erwähnt, dass der Übergang zu den gradlinigen Streckenteilen glatt verlaufen soll. Daraus lässt sich (aus der Skizze) für die beiden Punkte \((0|0)\) sowie \((4|2)\) interpretieren, dass die Funktion dort die Steigung \(0\) haben soll, woraus du zwei weitere Eigenschaften gewinnst:

3.) \(f'(0)=0\) für Punkt \((0|0)\)

4.) \(f'(4)=0\) für Punkt \((4|2)\)

Nun soll deine Funktion \(f\) speziell hier eine Polynomfunktion sein. Weil du vier Eigenschaften gegeben hast, kommt von daher ein Polynom dritten Grades in Frage, um eine eindeutige Lösung zu bekommen (falls das zugehörige Gleichungssystem eindeutig lösbar ist...).

Der Ansatz lautet also: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Und weil hier auch die erste Ableitung vorkommt, muss man auch einmal ableiten: \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

So und jetzt musst du deine vier gegebenen Bedingungen in deine Ansatzfunktion einsetzen und erhältst dann ein zu lösendes Lineares Gleichungssystem: bestehend aus vier Gleichungen mit vier Unbekannten \(a,b,c,d\).

Man hätte für diese Problemlösung auch zb eine Funktion ganz anderer Art hernehmen können, zb eine Kombination aus exponentiellen Ausdrücken oder trigonometrischen. Da sind jeweils der Vorstellung erstmal keine Grenzen gesetzt. Allerdings bekommt man da allgemein nur schwer bis garnichtmehr exakt lösbare (nichtlineare) Gleichungssysteme heraus. Deshalb weicht man u.a gerne auf Polynomausdrücke aus, weil die entstehenden Gleichungssysteme immer linear sind diese verhältnismäßig doch sehr einfach auf Lösbarkeit überprüfen kann.

Answer 2

Bei einer Funktion 3. Grades brauchst du 4 Gleichungen. Die Punkte, die du genannt hast liefern 3 (beachte die notwendige Bedingung für Extrempunkte). Allerdings liegt im Ursprung ein Tiefpunkt vor. Das liefert dir die vierte Gleichung. "Glatter" Übergang bedeutet übrigens, dass die Steigungen an der Verbindung übereinstimmen. In beiden Fällen liegt an der Verbindung ein Extrempunkt vor. Die Steigung ist an diesen Stellen also 0.

Kommst du damit weiter?

Answer 3

Man kann sich so eine Funktion auch wie folgt besorgen:

Wegen der beiden lokalen Extrema bei x=0 und x=4 gilt für die 1. Ableitung von f:

\(f'(x) = a x(x-4)= a(x^2-4x)\)

mit einer zu bestimmenden Konstanten a.

Damit hat f die Gestalt

\(f(x) = a\left(\frac 13 x^3 - 2x^2\right)\), da \(f(0) = 0\).

Die Konstante a erhältst du nun mit

\(f(4) = a\left(\frac 13\cdot 4^3 - 2\cdot 4^2 \stackrel{!}{=}2\right)\Leftrightarrow a=-\frac 3{16}\)

Damit folgt

\(f(x) = -\frac 1{16}x^3+\frac 38 x^2\)

Man kann leicht überprüfen, dass f tatsächlich bei (0;0) einen Tiefpunkt und bei (4;2) einen Hochpunkt hat.

Answer 4

\(P (0|0)\) ist doppelte Nullstelle wegen glatter Verbindung und ein Hochpunkt \( H(4|2) \) :

\(f(x)=ax^2(x-N)\)

\( H(4|2) \) :

\(f(4)=a \cdot 4^2(4-N)=16a(4-N)\)

\(16a(4-N)=2\)  →  \(a=\frac{1}{32-8N}\)

\(f(x)=\frac{1}{32-8N}[x^3-Nx^2]\)

waagerechte Tangente beim Hochpunkt:

\(f'(x)=\frac{1}{32-8N}[3x^2-2Nx]\)

\(f'(4)=\frac{1}{32-8N}[48-8N]\)

\(\frac{1}{32-8N}[48-8N]=0\)

\(N=6\)

\(a=\frac{1}{32-48}=-\frac{1}{16}\)

\(f(x)=-\frac{1}{16}x^2(x-6)=-\frac{1}{16}x^3+\frac{3}{8}x^2\)

b) In welchem Punkt ist f am steilsten?

Bestimme hierfür den Wendepunkt: \(f''=0\)

\(W(2|1)\)

Dann Bestimmung der Wendetangente und des Steigungswinkels.