Zeigen Sie dass es keine lineare Abbildung F: ℝ^{2} → ℝ^{2}

Question

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz: Mir fehlen jegliche Hinweise und der Ansatz dafür. Wäre sehr dankbar wenn mir jemand die Aufgabe zeigen könnte

Text erkannt:

(a) Zeigen Sie dass es keine lineare Abbildung \( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit
\( F\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad F\left(\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right), \quad F\left(\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right) \)
gibt.
(b) Wie muss mann
\( F\left(\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} ? \\ ? \end{array}\right) \)
abändern, damit eine Abbildung wie oben doch existiert
Bestimmen Sie \( F \) als Matrix-Multiplikation mit \( F(x)=A x \) für eine geeignete Matrix \( A \).

Comments

Diese Frage wurde bereits gestellt: https://www.mathelounge.de/1017082.

Answer 1

Ich schreibe es als Zeilenvektoren:

(3,1) = 2*(1,1)+ 1*(1,-1)

also müsste f(3,1) = (3,-1) sein.

Comments

Wie komme ich denn da drauf. Lg

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(1,1) und (1,-1) bilden eine Basis von R^2, ich stelle (3,1) als Linearkombination dar:
(3,1) = 2*(1,1)+ 1*(1,-1)

Dann gilt die analoge Relation für die Bilder bei f.

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Aber woher kommt den die -1

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Die einzige -1 steht doch in der Aufgabenstellung.

Wegen

(3,1) = 2*(1,1)+ 1*(1,-1)

gilt

f(3,1) = 2*f(1,1)+ 1*f(1,-1) = (2,0)  + (3,2) = (5,2)