Gibt es eine lineare Abbildung f: ℝ^2 → ℝ^2 mit: f(1 ,1) = (1,2), f(1,2) =( 1,3) und f(1,3) = (1,4)?

Question

Gibt es eine lineare Abbildung f: ℝ^2 → ℝ^2 mit

\( f\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {2}\end{array}\right), \quad f\left(\begin{array}{l}{1} \\ {2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {3}\end{array}\right) \) und \( f\left(\begin{array}{l}{1} \\ {3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {4}\end{array}\right) \)?

Begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

Ich suche eine Matrix [a, b; c, d] die die Abbildung repräsentiert:

Betrachten wir zunächst a und b:

Aus der ersten Gleichung folgt a*1 + b*1 = 1
Aus der zweiten Gleichung folgt a*1 + b*2 = 1
Die erste und zweite Gleichung können nur erfüllt sein wenn a = 1 und b = 0 ist.
Auch die dritte Gleichung a*1 + b*3 = 1 wäre mit diesen Werten erfüllt.

Betrachten wir nun c und d:

Aus der ersten Gleichung folgt c*1 + d*1 = 2
Aus der zweiten Gleichung folgt c*1 + d*2 = 3
Die erste und zweite Gleichung können nur erfüllt sein wenn c = 1 und d = 1 ist.
Die dritte Gleichung c*1 + d*3 = 4 ist hiermit auch erfüllt.

Es gibt also die Abbildungsmatrix [1, 0; 1, 1] die diese Abbildung erfüllt.

Nur als Begründung:

Etwas kürzer geht es vielleicht als Begründung. Bei der linearen Abbildung handelt es sich offenbar um eine Scherung. Die Scherung ist eine lineare Abbildung und kann also auch durch eine Matrix dargestellt werden.

Comments

wie sind Sie hier auf die Gleichungen gekommen ?

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Die Bedingungen waren doch direkt als Gleichung gegeben. Du brauchst nur einsetzen und auflösen.

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Können SIe es bitte irgendwie aufschreiben? Welche Gleichung / Bedienung ?

beispiel :

f(1 1 ) = (1 2)

was ist da die Gleichung ?

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Die Lineare Abbildung ist definiert als

f([x, y]) = [a, b; c, d] * [x; y] = [ax + by; cx + dy]

Die Werte in den Eckigen Klammern sind dabei Matrizen bzw. Vektoren

f([1, 1]) = [a, b; c, d] * [1; 1] = [a + b; c + d] = [1; 2]

a + b = 1

c + d = 2

Answer 2

Das ist im Grunde nichts anders als einsetzen, es sieht nämlich folgender Maßen aus:

Du suchst nach einer quad. Matrix, die sich im ℝ² befindet. Also sieht so so aus (a b c d).
Diese Matrix bildet linear die Zielmenge ab, also

1.(a b c d) * (1 1) = (1 2)
2.(a b c d) * (1 2) = (1 3)
3.(a b c d) * (1 3) = (1 4)

Hier wendest du ganz einfach die dir bekannte Matrixmultiplikation an, wo bei immer die erste Zeile der Matrix eine Gleichung für die variablen a und b angeben. Die zweite demnach für c und d.
Aus den obigen Gleichungen folgt also:

1.)
I.)(a + b) = 1
II.)(c + d) = 1

2.) 
I.) (a + b) = 1
II.) (c + 2d) = 3

3.)
I.)(a+b)=1
II.)(c +3d) = 4

Nun das Gleichungssystem auflösen und mit 3.) überprüfen

Die Lösungsmatrix ist wie oben angegeben (1 0 1 1).

Viel Spaß!

Comments

Es ist lediglich nach der Existenz einer Matrix mit gewissen Eigenschaften gefragt. Einsetzen muss man hier nichts.