Bestimmen Sie eine Matrix A , so dass die zugehörige lineare Abbildung f_{A}: ℝ^{3} → ℝ^{4} das Bild

Question

Text erkannt:

Bestimmen Sie eine Matrix \( A \), so dass die zugehörige lineare Abbildung \( f_{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) das Bild
\( \operatorname{Bild}\left(f_{A}\right)=V:=\left\{\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} \)
hat.
Geben Sie weiterhin eine \( 4 \times 4 \) Matrix \( B \) an, für die \( f_{B} \) dasselbe Bild hat.

Aufgabe:

Answer 1

Aloha :)

Alle Vektoren der Menge \(\text{Bild}(f_A)\) erfüllen die Bedingung \((x_1+x_2+x_3+x_4=0)\).

Wir stellen diese Bedingung nach einer Variaben um \((x_1=-x_2-x_3-x_4)\) und geben damit alle Vektoren aus \(\text{Bild}(f_A)\) an:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_2-x_3-x_4\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\1\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}-1 & -1 & -1\\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}}_{=A}\begin{pmatrix}x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}$$\(A\) ist nicht eindeutig. Du könntest z.B. nach einer anderen Variablen als \(x_1\) umstellen.

Ergänze bei der Matrix \(A\) eine Spalte mit lauter Nullen, um die Matrix \(B\) zu erhalten.