Berechnen Sie eine Basis von Kern und Bild der linearen Abbildung f: ℝ^{4} → ℝ^{4}

Question

Aufgabe:

a) Berechnen Sie eine Basis von Kern und Bild der linearen Abbildung \( f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \), die durch
\( f\left(\vec{e}_{1}\right)=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \quad f\left(\vec{e}_{2}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad f\left(\vec{e}_{3}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right), \quad f\left(\vec{e}_{4}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) \)
gegeben ist.

Answer 1

Aloha :)

Die Abbildungsmatrix bekommst du, indem du die Bilder der Basisvektoren (die wir hier alle angegeben haben) als Spalten in eine Matrix einträgst:$$A=\left(\begin{array}{rrrr}-2 & 1 & 0 & 1\\1 & -2 & 1 & 0\\0 & 1 & -2 & 1\\1 & 0 & 1 & -2\end{array}\right)$$Alle Bilder der Matrix sind Linearkombinationen der Spaltenvektoren. Daher kannst du eine Basis des Bildes bestimmen, indem du alle linearen Abhängigkeiten aus den Spaltenvektoren herausrechnest. Das machen wir mittels elementarer Spaltenoperationen. Unser Ziel ist es, so viele Nullen wie möglich in jeder Zeile zu erzeugen.

$$\begin{array}{rrrr}+2S_4 & -S_4 & &\\\hline-2 & 1 & 0 & 1\\1 & -2 & 1 & 0\\0 & 1 & -2 & 1\\1 & 0 & 1 & -2\end{array}\to\begin{array}{rrrr} & +2S_1 & -S_1 &\\\hline0 & 0 & 0 & 1\\1 & -2 & 1 & 0\\2 & 0 & -2 & 1\\-3 & 2 & 1 & -2\end{array}\to\begin{array}{rrrr} &\colon4 & +S_2&\\\hline0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 0\\2 & 4 & -4 & 1\\-3 & -4 & 4 & -2\end{array}\to$$$$\begin{array}{rrrr} -2S_2& & & -S_2\\\hline0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 0\\2 & 1 & 0 & 1\\-3 & -1 & 0 & -2\end{array}\to\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2 & & \vec b_3 \\\hline0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\-1 & -1 & 0 & -1\end{array}$$Es sind 3 linear unabhängige Vektoren übrig geblieben. Diese bilden eine Basis des Bildes:$$\text{Bild}(A)=\left(\,\left(\begin{array}{r}0\\1\\0\\-1\end{array}\right),\left(\begin{array}{r}0\\0\\1\\-1\end{array}\right),\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\\-1\end{array}\right)\,\right)$$

Ein 3-dimensionales Bild bedeutet, dass wir hier einen 1-dimensionalen Kern haben. Für seine Ermittlung rechnen wir die linearen Abhängigkeiten aus den Zeilenvektoren heraus. Das machen wir mit elementaren Zeilenoperationen. Ziel ist es, so viele Nullen wie möglich in jeder Spalte zu erzeugen:

$$\begin{array}{rrrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = & \text{Operation}\\\hline-2 & 1 & 0 & 1 & 0 & +2Z_4\\1 & -2 & 1 & 0 & 0 &-Z_4\\0 & 1 & -2 & 1 & 0 &\\1 & 0 & 1 & -2 & 0 &\\\hline0 & 1 & 2 & -3 & 0 & -Z_3\\0 & -2 & 0 & 2 & 0 &+2Z_3\\0 & 1 & -2 & 1 & 0 &\\1 & 0 & 1 & -2 & 0 &\\\hline0 & 0 & 4 & -4 & 0 & +Z_2\\0 & 0 & -4 & 4 & 0 & \colon(-4)\\0 & 1 & -2 & 1 & 0 &\\1 & 0 & 1 & -2 & 0 &\\\hline0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\0 & 0 & 1 & -1 & 0 & \\0 & 1 & -2 & 1 & 0 &+2Z_2\\1 & 0 & 1 & -2 & 0 &-Z_2\\\hline0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark \\0 & 0 & 1 & -1 & 0 &\Rightarrow x_3-x_4=0 \\0 & 1 & 0 & -1 & 0 &\Rightarrow x_2-x_4=0\\1 & 0 & 0 & -1 & 0 & \Rightarrow x_1-x_4=0\end{array}$$Die erste Gleichung ist immer erfüllt. In den 3 anderen Bedingunsgleichungen können wir alle \(x_4\) auf die rechte Seite bringen:$$x_3=x_4\quad;\quad x_2=x_4\quad;\quad x_1=x_4$$und damit alle Vektoren des Kerns angeben:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_4\\x_4\\x_4\\x_4\end{pmatrix}=x_4\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}$$Damit haben wir einen möglichen Basisvektor des Kerns gefunden:$$\text{Kern}(A)=\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\\1\end{array}\right)$$

Answer 2

Hallo :-)

Deine lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) kann so umschrieben werden:

$$ f\left(\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix} \right)=f\left(\begin{pmatrix}a\\0\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\b\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\c\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\0\\d\end{pmatrix} \right)\\=f\left(a\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+b\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}+c\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}+d\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix} \right)\\\stackrel{\text{f ist linear}}{=} a\cdot f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} \right)+b\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} \right)+c\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix} \right)+d\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix} \right)\\=a\cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\0\\1\end{pmatrix}+b\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}+c\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2\\1\end{pmatrix}+d\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\\-2\end{pmatrix}\\=\underbrace{\begin{pmatrix}-2&1&0&1\\1&-2&1&0\\0&1&-2&1\\1&0&1&-2\end{pmatrix}}_{=:A}\cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}$$

Jetzt betrachtest du für den Kern deiner Abbildung:

$$\left(\begin{array}{cccc|c}-2&1&0&1&0\\1&-2&1&0&0\\0&1&-2&1&0\\1&0&1&-2&0\end{array}\right)$$

Für das Bild musst du schauen, wieviele Spalten von \(A\) linear unabhängig sind.