Ansatz für Differentialgleichungen

Question

Aufgabe:

Eine Funktion y besitze die Eigenschaft, dass alle ihre Kurvennormalen durch den Ursprung gehen. Außerdem gelte y (1) = 1.
Zeichnen Sie in einem Punkt P(x|y) ein Steigungsdreieck ein, um einen Zusammenhang zwischen x, y und y' gewinnen zu können. Lösen Sie diese Differentialgleichung.

Problem/Ansatz:

Die Normalensteigung ist definiert als 1/y´

Answer 1

Zunächst: Die Normalensteigung ist -1/y'.

Es sei also \(y:I \to \R\) eine stetig differenzierbar Funktion auf einem geeigneten Definitionsbereich. Die Gleichung der Normale in einem Punkt \((x,y(x))\) mit \(y'(x) \neq 0\) ist:

$$t \mapsto y(x)-\frac{1}{y'(x)}(t-x)$$

Sie geht durch den Nullpunkt, wenn

$$y(x)-\frac{1}{y'(x)}(0-x)=0 \iff y(x)y'(x)=-x$$

Durch Integration mit der Vorgabe \(y(1)=1\) folgt

$$0.5y(x)^2-0.5=0.5-0.5x^2 \Rightarrow y(x)=\sqrt{2-x^2}$$

Der Graph von y ist ein Halbkreis um den Nullpunkt, so dass offensichtlich die Bedingung für die Normal erfüllt ist.

Answer 2

Hallo

1. mit Krümmung 1/y' kommt Unsinn raus richtig Krümmung -1/y' dann hast du

 2. das Steigungsdreieck  ist y/x damit  äst du 1/y'=-y/x die Dgl kann man leicht mit Trennung der Variablen lösen auch vorher schon weiss man, dass es einen Kreis durch (1,1) haben muss.

Gruß lul