Aloha :)
Die Jacobi-Matrix einer Vektorfunktion$$\vec f=\begin{pmatrix}f_1(\vec r)\\\vdots\\f_n(\vec r)\end{pmatrix}$$enthält die Gradienten der Komponentenfunktionen als Zeilenvektoren:$$J\vec f=\begin{pmatrix}\operatorname{grad}f_1(\vec r)\\\vdots\\\operatorname{grad}f_n(\vec r)\end{pmatrix}$$
Da du hier eine Funktion \(f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R\) hast, die nach \(\mathbb R\) abbildet, gibt es nur eine Komponentenfunktion mit zwei Variablen. Also hat die Jacobi-Matrix eine Zeile und zwei Spalten:$$Jf=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x} &\frac{\partial f}{\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{x}{(x^2+y^2+1)^{\frac32}} & -\frac{y}{(x^2+y^2+1)^{\frac32}}\end{pmatrix}$$
In der Hesse-Matrix wird die erste Zeile der Jacobi-Matrix nach \(x_1\), die zweite Zeile nach \(x_2\) und so weiter abgeleitet:
$$Hf=\begin{pmatrix}\frac{\partial^2f}{\partial x\partial x} & \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\\[2ex]\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2f}{\partial y\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2x^2-y^2-1}{(x^2+y^2+1)^{\frac52}} & \frac{3xy}{(x^2+y^2+1)^{\frac52}}\\[2ex]\frac{3xy}{(x^2+y^2+1)^{\frac52}} & \frac{-x^2+2y^2-1}{(x^2+y^2+1)^{\frac52}}\end{pmatrix}$$
Wenn die Abbildung zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen stattfindet, wie hier, ist Frechet-Differenzierbarkeit gleich der totalen Differenzierbarkeit. Da die Jacobi-Matix zwei stetige Funktionen enthält, ist \(f\) stetig partiell differenzierbar und daraus folgt die totale Differenzierbarkeit.
