Aloha :)
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Für Partialbruchzerlegung muss der Nenner Nullstellen haben. Das ist hier aber nicht der Fall. Daher zerlege den Bruch wie folgt:$$f(x)=\frac{4x\pink{-2}}{x^2+2x+5}=\frac{(4x\pink{+4})\pink{-6}}{x^2+2x+5}=\frac{4x+4}{x^2+2x+5}-\frac{6}{x^2+2x+5}$$im ersten Bruch ist der Zähler die doppelte Ableitung des Nenners, im zweiten Bruch kannst du den Nenner mit der ersten binomischen Formel vereinfachen:$$f(x)=2\cdot\frac{2x+2}{x^2+2x+5}-\frac{6}{4+(x+1)^2}=2\cdot\frac{2x+2}{x^2+2x+5}-3\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{x+1}{2}\right)^2}\cdot\frac12$$
Du erkennst sofort 2 Standardintegrale:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+\text{const}\quad;\quad\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+\text{const}$$
und kannst damit die Stammfunktionen hinschreiben:$$F(x)=2\ln(x^2+2x+5)-3\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right)+\text{const}$$
